1. In a region where U = 0, an experimentalist is launching an electron beam rightward with velocity v so its kinetic energy is Q = 2/1mev2. There are R electrons per second coming out of the beam. (You may leave any combination of Q and v in your answers.)

(a) Write the wavelength λ, wavenumber k, and frequency ω. k = mev/, λ = h/mv , ω = Q/

(b)  The electron wavefunction will be    I (x, t)  = Aei(kx-ωt) .   Show that its probability density is independent of time. P (x) =   *      = A* e-i(kx-ωt)Aei(kx-ωt). Turning the product of exponentials into the exponential of a sum, P (x) = A* Ae-i(kx-ωt)+i(kx-ωt)  and the exponent adds up to 0 so P (x) = A* A which is time (and space!)  independent.

(c)  The electron travels along in the U = 0 region until it hits a step; for x > 0, the potential is a higher (but not too high) constant U = Q/2.  Let’s call the wavefunction here    T (x, t) = A\ ei(k、x-ω、t) and kinetic energy Q\ .  For each of k\ , ω\ , A\ , Q\ , tell me whether it is higher, lower, or the same as the original x < 0 unprimed quantity.  Beyond the step, the total energy is the same, but due to the new potential and energy conservation, the kinetic energy is lower (Q\  < Q).  This implies that the velocity is lower too so from the answer to part (a) you can predict k\  < k.  ω depends on the total energy, not its kinetic/potential balance, so ω\  = ω . The tricky one is A. You might reason that A\  < A is lower because some of the wave has to relect, so fewer particles per second must be present on the right. You might reason that since v\  < v, the particles that ARE on the right will bunch up closer together, suggesting A\  > A.  You might suggest that both of these things happen and they cancel out so A\  = A, or that it’s hard to see what will happen.  I am happy to see any of this reasoning in your answer.

(d)  Do we expect    I   and    T   together to satisfy the x  = 0 boundary conditions?  Explain briely.

Wave-incident-on-a-step problems always need arelected wave to satisfy the boundary conditions.

2.  An electron is in an ininite square well running from x=0  to x=L. The electron in the ground state.

This tells you that E = 2 (12 )/(2m2 L2 ) and ψ(x) =^2/Lsin(πx/L)

(a) We want to know the probability of detecting the particle between x=0 and x=L/3. Set up this cal- culation (you do not need to carry out integral.) You can ind the wavefunction, including its nor-malization constant, on your formula sheet. Since P (x) = ψ* ψisadensity, itsintegraloverarangeisatotal.P =

10(L/)3 (2/L)sin2 (πx/L)dx

(b)  BONUS: What would the probability have been if this had been a classical particle?  1/3

(c) What’s the longest wavelength photon that this electron could ever absorb? Explain the transition.

If it jumps from n=1 to n=2 it absorbs E = 2 (22 - 12 )/(2m2 L2 ) which means light of wavelength λ = hc/E

(d)  ψ(x) = eikx  satisies Schrodinger’s equation for lat-potential regions.  The bottom of the well has a lat potential.  Why don’t we use ψ(x) = eikx  as a solution?  Explain in a few words.  The solution needs to drop to zero in the forbidden region and obey boundary conditions on the way there; this doesn’t. for example, note that eik0  at x = 0 is a discontinuity.

(e)  The wavefunction you used in part (a) is a stationary state only if it’s paired with the ininite- square-well potential.   What would happen if this wavefunction were used as the initial state

(x, 0) of a harmonic oscillator potential?   the most exciting problem is that its smoothness- failure points (which aren’t a problem in the ininite well since the walls are ininite potentials) would just be hanging out in anon-ininite-U region of the harmonic oscillator potential and would make the time-dependence “ininitely fast” at that point.  But in general “it’d change shape” will be marked correct.

3.  A hydrogen atom’s electron is given an initial energy of E = 9/−13.6eV

physical constant  “Ry” (Rydberg) as E = -Ry/9 or with more familiar constants as E = - 8e0(m)e2h(e4)2  

This is setting you up with the information that we’re in the n = 3 state