1.  Consider an endogenous growth model in which the inputs of production are capital,  k(t), and a public good, g(t). This public good can be thought of being infrastructure projects (i.e. roads, railways, etc) or service projects (i.e. health or education). Assume that the production function is given by

y(t) = Bk(t)α g(t)1-α ,

where B > 0 and α 2 (0, 1) are parameters. In this setting the maximization problem of the representative household can be expressed as

max c(t) l01 e-(ρ -n)tu(c(t))dt,

where ρ is the time preference rate parameter and n is the rate of population growth.  The above maximization is subject to c(t), k(t) ≥ 0,

k(˙)(t) = (1 - τ )Bk(t)α g(t)1-α - c(t) - (δ + n)k(t)

k(0) = k0  > 0,

Lim t!1 µ(t)k(t) = 0,

where τ > 0 is a proportional tax to income and δ > 0 denotes the depreciation rate of capital.

Also assume that the government raises taxes to keep a per period balance budget, such that

g(t) = τ y(t) = τ Bk(t)α g(t)1-α .

(a)  Assuming that the utility function of households is of the CRRA form with coefficient σ ,

use the maximum principle (Hamiltonian) to solve for the growth rate of consumption in

the balance growth path; i.e. γc  =  . [20 marks]

(b)  Show that the growth rate of consumption is equal to that of capital γk  =  and to that

of output γy  =  . [15 marks]

(c)  Obtain the optimal size of the government by appropriately choosing τ to maximise the growth rate of output. Show what is γy  at such an optimum. [15 marks]

2.  Consider the Real Business Cycle model where the representative household makes consump- tion and labour supply decisions. Assume that there is no population and technological growth. Also assume that there is no government and capital depreciates fully each period, δ = 1. Let the production function be given by Yt   =  Kt(α)(AtL)(1-α), where α  2  (0, 1), Kt  denotes

the capital stock, At  denotes the  stock of technology and L denotes labour.   Assume that Et[ln(At)] = ρA ln(At), where ρA  > 0.

Let V (Kt, At), the value function, be the expected present value from the current period for- ward of lifetime utility of the representative individual.  Let Ct  and ht  denote consumption and proportion of hours worked at time t, respectively. Also let ρ denote the discount rate and b > 0 be a constant.

(a)  Explain intuitively why the value function V (.) must satisfy the following Bellman equa- tion