Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Quantum Mechanics Assessed Problems 2

Angular momentum

The spherical  harmomics  Ylm(θ,ϕ), l = 0, 1, 2, 3, . . .  and m = -l, -l + 1,...,l - 1,l,  are an orthonormal basis of functions satisfying:

The Ylm(θ,ϕ) are simultaneous eigenfunctions of L(ˆ)2  and L(ˆ)3 :

The inner product between two functions of polar coordinates r,θ,ϕ is

A function f(r,θ,ϕ) is normalised if < f, f >= 1.

1.  This question is about a single particle in 3D, in potential V (x).

(a)  The time derivative of the expectation value of an observable A is:

where the notation〈B(ˆ)）is shorthand for〈ψ, B(ˆ)ψ) for any operator B(ˆ) .

The commutators of the Hamiltonian with the position and momentum operators are [see Chapter 2 Exercise 2.8]:

i. Use the formulae above to show that the time derivative of the expectation value of the angular momentum is given by

for i = 1, 2, 3.

[NOTE: Equation (5) has 3 components. You only need to show it holds for i = 1. The other two calculations for i = 2 and i = 3 are similar.  Alternatively, If you are happy with index notation you can use the Levi-Civita epsilon tensor to derive the equation.]

ii.  From (5), explain in one sentence why

when the potential V is a central potential V = V (r) where r = | x | .

(b) The particle has normalised wavefunction [5 marks]

where f(r) satisfies 10∞ |f(r)| 2r2 dr = 1, and a,b,c,d are complex numbers.

i. What condition do the complex coefficients a,b,c and d satisfy for ψ to be nor- malised?

ii. Find the expectation value of L2  in state ψ?  What are the possible outcomes of a measurement of L2  and what are their probabilities?

iii. What are the possible outcomes of a measurement of L3  and what are their prob- abilities? [5 marks]

(c)     i.  State the reason that L2  and L3  can be measured simultaneously.

ii.  L2  and L3  are measured simultaneously in state ψ .  What is the probability for obtaining value 22  for L2  and 0 for L3?

iii.  L2 is measured in the state ψ.  The wavefunction collapses.  Immediately after this, L3  is measured.  Show that the probability of obtaining value 2 2  for L2  and  then 0 for L3  in this sequence of measurements, one immediately after the other, is the same as the probability in the previous part for obtaining value 2 2  for L2  and 0 for L3  when they are measured simultaneously.

[Hint: the wavefunction must be normalised after it collapses.] [5 marks]