Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH6153W1

1.  Suppose that X1 , . . . , Xm+n are a random sample from the standard normal

distribution where m and n are known positive integers. Suppose k < m + n - 1 is also a positive integer.

(a)  [6 marks] Using as many as necessary of X1 , . . . , Xm+n, write down a new

random variable, which has the χ2 distribution with k degrees of freedom. Using the moment generating function, or otherwise, prove this result when k = 1.

(b)  [3 marks] Using as many as necessary of X1 , . . . , Xm+n, write down a new random variable which follows the standard t distribution with k degrees of     freedom.

(c)  [4 marks] Using X1 , . . . , Xm+n, write down a new random variable which

follows the standard F distribution with m and n degrees of freedom respectively for the numerator and the denominator. Hence state a relationship between the t  distribution with k degrees of freedom and an equivalent F distribution.

(d)  [12 marks] Suppose that X and Y are independently normally distributed with

mean 0 and variance σx(2) = 2(1 + ρ) and σy(2) = 2(1 - ρ), respectively where

-1 < ρ < 1 is a known parameter.

(i)  [4 marks] Write down, fX,Y (x, y), the joint pdf of X and Y.

(ii)  [8 marks] Consider the transformation X and Y to U and V where

Find the joint pdf of U and V , fU,V (u, v) by applying the transformation   method. Name the joint distribution of U and V. In general, are U and V independent? State what happens when ρ = 0.

2.  Suppose that X1 , . . . , Xn are a random sample from the random variable X having the pdf:

(a)  [7 marks] Show that Y = X2 follows the exponential distribution. Obtain the parameter of this distribution and hence write down the value of E(Y). Assuming E(X) = 1/2 √ πθ, find the variance of X .

(b)  [5 marks] Show that the expected Fisher information for θ is I(θ) =  .

(c)  [7 marks] Find the maximum likelihood estimator (mle) of θ. Is themle unbiased and does its variance achieve the Cramr-Rao lower bound?

(d)  [6 marks] By equating E(X) and X(-) = Σ Xi, find a method of moments

estimator of θ. Is this estimator unbiased? [Hint: Use the results stated and

obtained in part (a)].

3.  As in Question number 2, assume that X1 , . . . , Xn are a random sample from the random variable X having the pdf:

Let x1 , . . . , xn denote the random observations. You may assume the distribution theory stated or asked to be proved in Question number 2.

(a)  [4 marks] State the Neyman-Pearson Lemma for testing H0: θ = θ0 against H1: θ = θ1 .

(b)  [7 marks] Consider the problem of testing H0: θ = θ0 against H1: θ = θ1 where θ 1  > θ0. Show that the critical region of the most powerful test for testing H0

against H1 can be expressed as

for some c > 0. Hence conclude that this testis also the uniformly most powerful test for testing H0: θ = θ0  against Ha: θ > θ0 .

(c)  [6 marks] Show that Z = Σ Xi(2) follows the χ2 distribution with 2n degrees of freedom. You may assume that the sum of independent χ2  random variables also is a χ2  random variable.

(d) [3 marks] Show that c = θ0/2 k for the level α uniformly most powerful test, where k is such that P (χ2(2)n  > k) = α .

(e)  [5 marks] Using the distribution of Z, construct a 100(1 - α)% confidence interval for θ .