This is the second problem set.  Let me just take this space to re-iterate that  it  is nigh impossible  to  do  well in  this  class  ifyou  don’t use  the  textbook.

Book Problems [will not be covered in Seminar]

Tadelis problems 7.1, 7.2, 7.4, 8.1, 8.4, 8.12, 10.2,10.3, 10.6, 10.12

Relevant readings: Tadelis chapters 7, 8, 10

1    More Auctions!  [will be covered in Seminar]

Suppose we think of a sequential version of our old Auction game from the last problem set:

.  Player 1 places a bid.

.  Player 2 observes player 1’s bid, then places a bid.

.  The player with the highest bid wins the item at auction.

. In case of a tie, the winner is determined randomly (with equal probability among those tied).

.  The winning player pays his bid.

Two players bid for a rare bottle of Laphroaig whiske. This is an auction in which they can bid any amount in R+. Suppose the two players both value the item at $500.

1.1  Find  all pure-strategy Nash equilibria of this game.

1.2  Find  all pure-strategy Subgame Perfect Nash Equilibria of this game.

Now, we’re going to change the rules a little bit. Suppose that the players can only bid integer amounts of money.

1.3  Find  all pure-strategy Nash Equilibria  of the simultaneous-integer-bid game.

1.4  Find all pure-strategy Subgame Perfect Nash Equilibria of the sequential-integer-bid game.

2    Extensive  Form Extravaganza [will be covered in Seminar, time per- mitting]

Consider the following game, similar to the one from class but with three players.

2.1  Write this game in Normal Form and fnd  all pure-strategy Nash Equilibria.

2.2  Solve for  all SPNEs  (pure  and mixed) .

3    Repeated  Games:  Tragedy of the  Commons [will not be covered in Seminar]

Suppose N = 3 shepherds all graze their sheep on the same land (of size N).  Each day, they can choose to have their sheep either

.  Graze sustainably (‘Graze’), or

.  Gorge on as much grass as possible (‘Gorge’).

A shepherd’s sheep gain 1 pound of meat if they Graze, or N pounds if they Gorge. Additionally, for each other lock that gorges, aa shepherd’s sheep lose an extra 2 pounds regardless of whether they graze or gorge themselves; there is no loss if other locks graze. Shepherds each attempt to maximize the weight of their own sheep.

3.1  What NEs  exist if the game  is played only once?

3.2  What SPNEs  exist if the game is fnitely repeated?

3.3  Suppose  instead  the  game  is  infnitely  repeated  with  discounting.   Construct  Nash Reversion strategies  with  only Graze  being played on-path  by  all players  and fnd the set of discount factors for which these strategies form an SPNE.

3.4  Suppose  instead the game is infnitely repeated with N > 3 players.  How  high  does the discount factor have  to  be for Nash Reversion strategies with only Graze being played on-path by all players to form an SPNE?

3.5  With N = 3, fnd a discount factor and an SPNE for the  repeated game  with that discount factor where shepherd 1 gets  a payof of at least 2 .