∞

L[f(t)] = l δ(t + 3π)e−stdt = e3πs

0

for s > 0.

(ii) [2 marks]   Let the Laplace Transform of g(t) be ˜(g)(s) =

Therefore, the original function, g(t), is given as

g(t) = H(t − 2)etsin(2t)

(b) [16 marks]   Use the method of Laplace transforms to solve the following initial-value problem:

¨(y) − ˙(y) − 2y = δ(t − 2π)

where δ(t) is the Dirac delta function.

 A2.             [Total for this question: 25 marks]

The forced heat equation with unit diffusion constant is

 =       + F(x,t).

The domain is x ∈ [0, 1]. The boundary conditions are

(0, t) = 0 = (1, t).

The forcing term is

F(x,t) = exp(−t)(1 − x).

(a) [10 marks]   Show that the solution to the homogeneous problem

∂y     ∂2y

∂t     ∂x2

subject to the boundary condition in equation (2) is

∞

y(x,t) = T0 (t) + Tn (t)cos(nπx).

You do not need to compute the explicit form of Tn (t) or T0 (t).

(b) [10 marks]   Using the information from part (a), and that the Fourier cosine series for 1 − x is

1 − x    (1 − ( − 1)n )cos(nπx),                  (6)

show that the general solution to the forced heat equation in equation (1) subject to the boundary condition in equation (2) is

y(x,t) = C0 −t +

 (1 − ( − 1)n )  + Cne− (nπ)2t] cos(nπx),    (7)

where C0 and Cn are constants.

(c) [5 marks]   Set the initial data to be

y(x,0) = 0.                                         (8)

Show, using (7) from (b), that the solution to the original PDE satisfying the initial condition is

1 − e −t）+  ( 1(n)) (e −t − e − (nπ)2t)] cos(nπx).

Section B: All students except Civil Engineering

B1.             [Total for this question: 35 marks]

(a) [16 marks]   Define the following:

f(x,y, z)  =  ze1 −xy ,

g(x,y, z)  =  sin (x2 yz, ,

v(x,y, z)  =  y(z − 1)i − x(1 − z)j + (1 + xy − 2z)k,

where i, j , k are the three unit vectors of the Cartesian axes.

Showing all your working, evaluate the following or explain why it is not possible.

(i) Find the Gradient (Δ) off(x,y, z).

(ii) Find the Gradient (Δ) of v(x,y, z).

(iii) Find the Divergence (Δ·) of g(x,y, z).

(iv) Find the Divergence (Δ·) of u(x,y, z).

(v) Find the Curl (Δ×) of g(x,y, z).

(vi) Find the Curl (Δ×) of v(x,y, z).

(vii) Find the Laplacian (Δ2) off(x,y, z).

(viii) Find the Laplacian (Δ2) of u(x,y, z).

(b) [5 marks]   Define the conservative vector field u as

u = ze1 −zi − e1 −zj + e1 −z (x + y − xz)k

Find a scalar potential for u.

(c) [4 marks]   Find the work done by a particle subject to the force

F = (2x − 3y)i + (y − z)j − x2yk

when moving from t = 0 to t = 1 along a paramaterized curve, C, defined as r = (t − 1,t,1 − t).

(d) [5 marks]  A closed curve C has coordinates

sin(t)i + cos(t)j + 2cos(t)k

where t ∈ [0, 2π] is a parameter. A vector field F is given by

F = ysin(z)i + xsin(z)j + xy cos(z)k.

Using Stoke’s Theorem compute the line integral

1C F·dr.

(e) [5 marks]  A cylinder encloses the region V where x2 + y2  ≤ 1 and 0 ≤ z ≤ 1. A vector field F is given by

F = −yzi + xzj + (xy + z)k.

Use the divergence theorem to find the flux of the vector field through the surface of the cylinder,

ll∂V F·dS.

Section C: Civil Engineering students only

C1.             [Total for this question: 15 marks]

(a) An aircraft manufacturer makes two commercial airliners called B2B and B4B.

The two aircraft were developed in parallel with the result that they are powered    by the same type of engine. The B2B has two engines and can still take-off if at    least one of its engines remains operational throughout the take-off. The B4B has four engines and can still take-off if at least two of its engines remains

operational.

For a given aircraft, the engines are assumed to operate independently of each other. Let pbe the probability of engine failure for this type of engine during

take-off.

(i) [2 marks] Show that the probability of the B2B taking off successfully is given by

P(B2B takes off) = 1 − p2 .

(ii) [4 marks] It can be shown that the probability of the B4B taking off successfully is given by

P(B4B takes off) = 1 − 4p3 + 3p4 .

If a successful take-off was your only concern, for what values of p would you prefer to travel on the B2B than the B4B?

(iii) [2 marks] Do you think the assumption that the engines operate independently of each other is reasonable? Justify your answer.

(b) [4 marks] Two methods, A and B, are available for teaching a certain industrial skill. The assessment failure rates for A and B are 20% and 10%, respectively. However, B is more expensive and hence is only used 30% of the time (A is

used the other 70%). A worker was taught the skill by one of the methods but   failed the assessment. What is the probability that they were taught by method A?

(c) The time to failure (in 100s of hours) of a certain electronic component is a random variable Y with cumulative distribution function (cdf) given by

F(y) = 1 − exp( −y2 ),

for y > 0.

(i) [1 mark] Find the probability density function (pdf).

(ii) [2 marks] Find the probability that a randomly selected component operates for at least 200 hours.

C2.             [Total for this question: 20 marks]

(a) The strength of concrete depends, to some extent, on the method used for

drying. An experiment was performed to compare two different drying methods. Seventeen specimens of concrete were mixed and then one of the two drying

methods was chosen for each specimen at random. After 10 days, the strength of the 17 specimens was measured (in psi). The results are shown in the table below.

(i) [2 marks] Calculate the combined sample variancesc(2) .

(ii) [4 marks] Test at the 5% significance level the null hypothesis that the mean   concrete strength under the two drying methods are the same. Assume that   the variance of the observations under the two drying methods are the same.

Hint: You may find some of the R code and output useful.

>  qt(0.975,df=15)

[1]  2.13145

>  qt(0.975,df=16)

[1]  2.119905

>  qt(0.975,df=17)

[1]  2.109816

(b) The combined fuel efficiency (Y ; measured in km/l) and engine volume (X;

measured in l) of nine cars were measured. It is thought that Y is related to X according to a simple linear regression model. The results of fitting this model  are shown below. However some of the output is missing.

Call:

lm(formula  =  eff  ~ vol)

Residuals:

Min           1Q       Median        3Q       Max

      -2.0394  -0.8490       0.2110     0.6831   2.2756