2.  Let A = fp 2 Z : p is primeg and B = fn 2 Z : n is a squareg.

Deine the function f : A ! B, where f(p) is the largest element of B that is less than or equal to 5p.

(a) What is f(13)?

(b) Is f one-to-one?

(c) Is f onto?

[1+1+1 = 3 marks]

3.  Let S = f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g.

Deine a binary relationship R on S by aRb if and only if a + b is even.

Deine an equivalence relationship E on S by aEb if and only if a2  = b2    (mod 8).

(a) Is R relexive?

(b) Is R symmetric?

(c) Is R antisymmetric?

(d) Is R transitive?

(e)  How many equivalence classes does E have?

(f)  How many numbers are in the largest equivalence class of E?

[1+1+1+1+1+1 = 6 marks]

5. The probability distribution of a discrete random variable X is given by the table below

(a) What is the value of p?

(b) What is E[X]?

(c) What is Var[X]?

[1+1+1 = 3 marks]

6.  On average,a drop of water leaks from a water tank 5 times every minute. The probability that at least 3 and at most 8 drops leak from the tank in one minute is given by

(a) What is the value of a?

(b) What is the value of b?

(c) What is the value of λ?

(d) You start watching the water tank. Which of the following distributions would best model how many minutes pass before the next drop?

A. Uniform distribution.

B. Bernoulli distribution.

C. Binomial distribution.

D.  Geometric distribution.

E. Poisson distribution.

(e) You watch the tank for three minutes.  After each minute, you write down ‘YES’ when you saw at least one drop, and ‘NO’ otherwise. Which of the following distri- butions would best model the probability that you wrote down ‘YES’ twice?

A. Uniform distribution.

B. Bernoulli distribution.

C. Binomial distribution.

D.  Geometric distribution.

E. Poisson distribution.

[1+1+1+1+1 = 5 marks]

7. A fair six-sided die is rolled twice. Let A be the event that at least one 5 was rolled. Let B be the event that the sum of the two numbers rolled is even.

(a) What is Pr(A)?

(b) What is Pr(B)?

(c) What is Pr(A \ B)?

(d) What is Pr(AjB)?

(e) What is Pr(BjA)?

(f) Which one of the following is true?

A. A and B are independent because Pr(A) Pr(B) = Pr(A \ B). B. A and B are independent because Pr(AjB) Pr(A).

C. A and B are independent because Pr(AjB) = Pr(BjA).

D. A and B are NOT independent because Pr(A) Pr(B) = Pr(A \ B). E. A and B are NOT independent because Pr(BjA) Pr(A).

F. A and B are NOT independent because Pr(BjA) Pr(B).

[1+1+1+1+1+1 = 6 marks]

where the vertices V1 ,  V2 , and V3   correspond to the irst, second, and third columns, respectively.

(a)  How many walks of length 1 are there from V2  to V3 ?

(b)  How many walks of length 1 are there from V1  to V1 ?

(c)  How many walks of length 2 are there from V1  to V2 ?

(d)  How many walks of length 3 are there from V2  to V2 ?

(e) Which of the following is an (unlabelled) diagram of the multigraph?

[1+1+1+2 = 5 marks]