A1.             [Total for this question: 20 marks]

(a) [5 marks]   Use the integral definition of the Fourier Transform  F [f (t)] = F (ω) of a function  f (t) to prove the property

F le-j atf (t)]= F (ω + a) .

(b) Consider the initial value problem:

(t) + 2α ˙(y)(t) = S(t) ;      y(0) = K ,    ˙(y)(0) = 0 ,             (1)

where α > 0 and K are known constants, and the source term is:

S(t) = {0    cos t ,   t(t)  π(π) 

with A being a (known) constant.

(i) [8 marks]   Express the source S(t) in terms of a Heaviside function and then use the indirect method of Laplace transforms to find that the Laplace transform solution ˜(y)(s) of this system is:

˜          K

Ae-πs

(s + 2α) (s2 + 1)          (2)

(ii) [7 marks]   Invert the Laplace transform (??) to find the solution  y(t) of the original initial value problem (??).

A2.             [Total for this question: 25 marks]

(a) Consider the wave equation

∂2u                  (3)

∂x2

with boundary conditions (` > 0)

u(0, t) = 0,       At                            (4)

and initial conditions

u(x, 0) = δ(x - a) ,            A x 2 [0, `] ,           (5)

where 0 < a < ` is a constant and  δ(z)  is the Dirac delta function.

This system can be solved using the method of separation of variables whereby the most general solution is a series solution of the form

u(t, x) = Xn (x)Tn (t).

(i) [7 marks]   Find  Xn (x) and the associated eigenvalues λn  (i.e. the separation constant), for positive integer n = 1, 2....

(ii) [6 marks]   Find and solve the set of equations for  Tn (t)  (n = 1, 2...).    (iii) [7 marks]   Find the series solution  u(t, x) that obeys not only the wave

equation (??) and the boundary conditions (??) but also the initial conditions (??).

(b) [5 marks]   Consider the partial differential equation

 =  +    +   2v) ,                          (6)

where c and    are constants.

Showing all your working, find the constant  A so that the change of variable

v(t, x) = f (t) u(t, x)   with   f (t) = eAt

allows us to rewrite (??) as a standard wave equation for  u(t, x):   =   .

Section B: All students except Civil Engineering

B.             [Total for this question: 20 marks]

(a) [7 marks]  An ellipse centered at the origin in the ①g-plane with semi-major axis a = 4 and semi-minor axis  b = 3 can be parametrized as

YT(t) = 4 cost i + 3 sint j

where i,j, k are the three unit vectors of the Cartesian axes.

Find the work done by a particle subject to the force

F = (3x - 4g)i + (4x + 2g)j

when completing a single full turn around the ellipse, in an anticlockwise direction.

(b) [7 marks]   Consider the closed surface S = ?V shown in Figure 1 which is

bounded by a paraboloidal-like lateral surface and by the “bottom” disk in the    xg-plane. Assume that the volume V of the region that it encloses is  V = π .   Find the flux integral of the vector field  F = (4x - 2xg)i - 2gj + 2gzk over the closed surface S = ?V.

Figure 1: Volume V bounded by the closed surface S = ?V of Question B.(b)

(c) [6 marks]   Calculate the angle between the normal of the surface

x2 + 2g2 + z2  = 4 and the normal of the surface  xgz + 3x2 = 4 , at the point (1, 1, 1).

C2.             [Total for this question: 15 marks]

Where necessary report your answers to two decimal places.

(a) [7 marks]  We have two independent samples of 16 observations each, from

normal distributions with population means µ1 and µ2 , respectively, and the

same variance σ2. The sample means are 13.1 and 15.7 in sample 1 and sample 2, respectively. Moreover, the sample standard deviations are 0.89 and 0.82, respectively. Test, at the 5% significance level, the null hypothesis µ1  = µ2 against the alternative µ1   µ2 .

(b) In an investigation into the relationship between the strength y (modulus of

rupture, in N/mm2) and the temperature x (in degrees Celsius) of a particular    type of steel girder at a manufacturing plant, a random sample of 24 steel girders is selected and tested, and the strength and temperature are observed for each   girder. It is thought that  y might be related to  x through a quadratic regression   model y = α + βx + γx2 +   , and the following output was produced in

Minitab as part of the regression analysis of the observed sample:

Regression Equation

y  =  -1061  +  12.99  x  -  0.0233  x^2

Coefficients

Term         Coef      SE  Coef      T-Value        P-Value

Constant     *           572         -1.86             0.078

x                    *           5.38           2.41             0.025

x^2                 *       0.0127       -1.84             0.080

S  =  2.653        R-sq =  98.67%

(i) [2 marks]  What conclusion you can draw from

R-sq  =  98.67%

(ii) [4 marks]   Calculate a 95% confidence interval for the regression coefficient  . Test the null hypothesis that    is equal to zero at the 5% significance level.

(iii) [2 marks]   From the result in (b)(ii), would you use the quadratic regression model? Give your reason.