Question 1

We  assume  that  the  random  variables  Y1, Y2 , Y3 , Y4   are  independent  with  E(Yi)  =  μi   and Var(Yi) = σ2 . We write

a)   Write the covariance matrix of Y in matrix form, i.e., Cov(Y) . The covariance matrix of a random vector X = (X1 , · · · , Xn) is then Xn matrix whose (i, j)-entry equals Cov(Xi, Xj).

b)   We deine

where W1  = Y1 + Y2 + Y3, W2  = Y1  — Y2, W3  = Y1 — Y2 — Y3. The objective is to calculate Cov(W) in two diferent ways.

i)   Calculate manually Cov(Wi, Wj) for any i, j = 1, 2, 3 and form Cov(W).

ii)   Show  that  there  is  a  deterministic  matrix  A  such  that  W = AY  and  calculate Cov(W) using the fact that Cov(AY) = A Cov(Y)AT .

Question 2

Let

f(x) = 3x1(2) + x2(2) — x1x2 + 2x1 — 5x2 + 1.

a)   Let x = [x1 , x2]T .  Find A, b and c such that

f(x) = xTAx + bTx + c,

where A is a symmetric matrix.

b)   Solve for  = 0.

Question 3

The observations y1 , y2  and y3  were taken on the random variables Y1, Y2  and Y3, where Yi’s satisfy the following equations with unknown deterministic constants θ and φ:

Y1  = θ + E1      Y2 = 2θ — φ + E2     Y3  = θ + 2φ + E3

E(Ei) = 0,    Var(Ei) = σ2  (for i = 1, 2, 3),    Cov(Ei, Ej) = 0 (i  j)