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Topología Descriptiva. Aplicaciones.

Ejercicios – Lista 3

Curso 2023/24

Instrucciones:

•  Deben entregarse resueltosal menos 6 ejercicios dela lista.

•  Las soluciones deben entregarse en formato digital (pdf, escaneadas, fotografiadas, ...), subiendolas al espacio compartido dela asignatura en Poliformat.

•  Ellímite para subirlas soluciones son las 23:59 del 19 de enero de 2024 (hora peninsular española).

Ejercicios:

(1)  Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea I ⊆ X un conjunto numerable. Supongamos que X no contiene puntos aislados. Demostrar con la ayudadelteorema de Baire que X \ I es un subconjunto denso de X.

(2)  Sea X un espacio de Banach de dimensión infinita y sea 0 < δ < 1.  Utilizar el Lema de Riesz para demostrar que existe una sucesión (xn) ⊂ X con ∥xn ∥ = 1 para cada n ∈ N tal que ∥xn − xm ∥ > δ para cada n ≠ m.

(3)  Sea X un espacio de Banach de dimensión infinita. Demostrar utilizando elejercicio anterior que la bola unidad cerrada de X no es compacta.

(4)  Sea B : c0 → c0, (xn) 7→ (xn+1), 1 < p < ∞. Demostrar que lasucesiónde iteradas (B n ) ⊂ L(c0) converge al operador nulo en la SOT pero no en la topologíade la norma.

(5)  Sea F : lp  → lp , 1 < p < ∞, (xn) 7→ (yn ),donde y1  = 0, yn +1  = xn  para cada n ∈ N.  Demostrar que la sucesiónde iteradas (Fn ) ⊂ L(lp ) es convergente en laWOT pero no en la SOT. ¿es ergódico en media dicho operador?

(6)  Sean X, Y espacios de Banach. Demostrar que L(X, Y) tiene los mismos acotados en la WOT, SOT y en la topología dela norma.

(7)  Sean X un espacio de Banachy sea T ∈ L(X) un operador compactotal que ∥T∥ ≤ 1. Demostrar que la sucesión de iteradas ( Tn ) es WOT convergente siy sólo si ( Tn ) es convergente en norma.

(8)  Sea X un espacio de Banach y sea T ∈ L(X) acotado en potencias. Demostrar que T es ergódicosi y sólo si T es débilmente ergódico (es decir ( T[n]) es convergente en laWOT)

(9)  Sea X = C3 y sea T ∈ L(X) un operador depotencias acotadas. Demostrar que T es ergódicosi y sólo T es acotado en potencias. Sugerencia: usar la forma de Jordan de lamatriz.

(10)  Sea X un espacio de Banachy sea T un operadortal que la sucesiónde iteradas ( Tn ) es convergente en laWOT. Demostrar que σp ( T) ∩{λ ∈ C :  |λ| ≥ 1 ⊆ {1}. (λ ∈ σp ( T) si existe un x ≠ 0 tal que T (x) = λx)

(11)  Sea X un espacio de Banach. Demostrar que T ∈ L(X) es uniformemente ergódico en mediasiy solo T∗ ∈ L(X∗) es uniformemente ergódico en media.