Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

SEMESTER 1 EXAMINATION 2019/20

MATH3085 Survival Models

A sample of n such electronic components are tested over a period of P hours,

during which time m of the components were observed to fail. The remaining n - m components had not failed at P hours when observation ended. For each failed component, i = 1, . . . , m, the observed failure time is denoted by ti.

(c) Show that the log-likelihood `(β) is given by

`(β) = m log β - (n - m)β log(P + 1) - (β + 1) log(1 + ti ).

[4 marks]

(d) Find expressions for the maximum likelihood estimateβ(ˆ) of β and its standard error.                           [4 marks]

(e) Suppose n = 12, m = 3, P = 1000, t1  = 200, t2  = 800 and t3  = 800. Find βˆ and an approximate 95% confidence interval for β .                  [2 marks]

Hint: The following R code and output maybe useful.

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

(f) Calculate an estimate of, and an approximate 95% confidence interval for, the integrated hazard, HT (t), at t = 500 hours of use.              [5 marks]

(g) State whether the censoring in this example is informative or non-informative. Give your reasoning.            [2 marks]

2.    [Total 8 marks] In an exam, the time taken (in minutes) by a student to complete a  particular question was recorded. Recorded times for 10 students are shown below where + indicated a right-censored observation.

15  11  21  18+  19+  15  19  16  20+  20

(a) Calculate the Kaplan-Meier estimate of the survival function of the random

variable representing time to complete. Sketch the estimate on a suitable set of    axes (a very accurate sketch is not required, but you should label axes and show  any discontinuities clearly).            [4 marks]

(b) Calculate a 95% confidence interval for the probability of a student taking more than 15 minutes to complete the question.     [4 marks]

3.   [Total 20 marks] Diabetic retinopathy is a complication of diabetes whereby high

blood sugar levels leads to damage to the retina (back of the eye) and eventual loss of vision.

A study was undertaken to assess a new laser treatment for diabetic retinopathy against the control treatment. A sample of patients with diabetic retinopathy in one eye were monitored after receiving treatment in the affected eye and the time to loss of vision was recorded.

Explanatory variables for each patient were

x1    patient’s age at treatment (measured in exact years since 20th  birthday).

x2   a dummy variable taking value 1 if the patient received laser treatment and 0 if the patient received the control treatment.

x3   a dummy variable taking the value 1 if the patient was determined to have a  high risk of vision loss and 0 if the patient was determined to have a low risk.

A Cox proportional hazard model was fitted with the following form

h(t) = h0 (t) exp (β1x1 + β2x2 + β3x3 )

where h0 (t) denotes the baseline hazard of vision loss.

(a) List the explanatory variables of the patient to whom the baseline hazard applies. [3 marks]

(b) After fitting the Cox proportional hazards model, the results showed the following for the hazard of vision loss.

. The hazard for a low-risk 21 year-old patient who received the control

treatment is 2 times that of a low-risk 20 year-old patient who received the laser treatment.

. Under the same treatment, the hazard for a high-risk patient is 1.75 times that of a low-risk patient who is 10 years younger.

. For any age, the hazard for a low-risk patient receiving the control treatment is 3 times that of a high-risk patient receiving the laser treatment.

Calculate the estimated values of β1 , β2 and β3 .                                     [12 marks]

(c) For any age and risk status, what is the estimated ratio of hazards for a patient

receiving the laser treatment and a patient receiving the control treatment? [2 marks]

(d) It is thought that the laser treatment reduces hazard of vision loss more effectively for high risk patients than for low risk patients. Write down the form of a Cox proportional hazards model that would allow you to test this statement.  [3 marks]

4.   [Total 22 marks] Consider a virus outbreak which turns humans into zombies. There are three states: 1: human, 2: zombie and 3: dead. On contracting the virus, a

human will turn into a zombie. A zombie can then be “cured” and return to being a human or be killed by decapitation. Humans can also die directly.

Let pij (x, t) be the probability of a person in state i and timex will be in state j at

timex + t. Furthermore, let μij (x + t) denote the transition intensity between states i and j at timex + t.

(a) Sketch a diagram showing the possible transitions between the states.   [3 marks]

(b) Use Kolmogorov’s forward equations to derive an expression for

p23 (x, t),

in terms of μij (x + t), for i, j = 1, 2, 3, i j, and pij (x, t).                [3 marks]

(c) Explain in words what each term in the expression you have derived in part (b) means.               [2 marks]

(d) Write down the likelihood of the data, assuming transition intensities between states are constant over time, clearly defining all the terms that you use. [4 marks]

(e) Derive an expression for the maximum likelihood estimate of the transition intensity from human to zombie.          [4 marks]

During a small-scale zombie apocalypse, a study was performed to learn about the transitions between the different states. The following data was collected.

Person-months as a zombie                              2079

Number of transitions from human to zombie      489

Number of transitions from zombie to human      147

Number of transitions from zombie to dead         214

Number of transitions from human to dead           80

(f) Using the above data, calculate the maximum likelihood estimate for the transition intensity from human to zombie along with a 95% confidence interval.    [6 marks]

5.    [Total 20 marks] Below is an extract of a life table for people between the ages of birth and 40.

Age x (years)	`x	Age x (years)	`x
0	100000	20	98492
1	99180	25	98066
5	99028	30	97647
10	98932	35	97168
15	98826	40	96489

The complete life expectancy at age 40 according to this life table is 38.471.

(a) Write down what is meant by the life table quantities 5d20 , 4q1 and 5 L30. [3 marks]

(b) Stating any assumptions you make, determine the three life table quantities from   part (a).      [6 marks]

(c) What is the probability that a person aged 10 years will die before they attain the  age of 40 years?          [2 marks]

(d) Compute the curtate and complete expectation of life at birth.                  [9 marks]

6.   [Total 8 marks] A large insurance company has performed graduation on the

mortality experience of part of its business, by a linear regression of observed (log) rates against historical (log) rates, i.e. a model with two parameters. The original data and the graduated rates are as follows.

Age	Observed number of deaths	Exposed to risk	Graduated rates
50	15	1102	0.01204
51	12	1920	0.01236
52	24	1725	0.01302
53	18	2002	0.01345
54	10	2221	0.01399

(a) What is graduation of crude mortality rates and why is it important? [2 marks]

(b) Test this graduation for overall goodness of fit. [6 marks]

Hint: Some of the following R code and output maybe useful.

qchisq(0.95, df = 4)

## [1] 9.487729

qchisq(0.95, df = 3)

## [1] 7.814728