Exercise 1 For each function below, derive the power series expansion in a neighborhood of 0 and determine the interval of convergence. Justify your answer by showing all your work.

(a)  

(b)  

(c)  arctan x

Exercise  2 Let  O      Rn   be  a  connected  open subset and let f : O  !  R be a function such that each partial derivative ∂f/∂xi  exists and is continuous (that is, for each i = 1, . . . n, the single-variable function fi  obtained by holding all xj  constant except xi  is continuously diferentiable 1 ).

(a)  (The n-dimensional Mean Value Theorem) Let p0  2 O and let ε > 0 such that B" (p0 )     O.  Let p 2 B" (p0 ) and put p - p0  = (Δx1 , Δx2 , . . . , Δxn ). Prove that there are points p1 , . . . pn  2 O such that

Note: You may use the single-variable mean value theorem.

(b)  Prove that f is diferentiable and that in particular

satisies the deinition of the derivative of f given in Lectures 30 and 31. Note that you need to show that

or, equivalently, that for each x 2 O and ε > 0 such that Bε (x)     O   9δ such that

y 2 Bδ (x)  =)  |f (y) — f (x) — f、(x) · (y — x)|  < |d(x, y)jε .

Note that in both expressions “ · ” denotes the scalar product of two vectors.

(c)  Suppose K is a compact subset of O and ε > 0.  Show that 9δ such that for any x 2 K

||h|| < δ  =>  |f (x + h) — f (x) — f'(x) · h| < ||h||ε .

Note that this is a stronger result than part (b) because the limit is uniform (independent of x) on K.