Question 1.   For the simple linear regression model Yi = β0  + β1Xi  + Ei, i = 1, . . . , n with

i = Yi - Y(ˆ)i ,

show that

(a)Σ i = 0

(b)Σ iXi = 0

(c)  Hence or otherwise showΣ Y(ˆ)i i = 0

(d)  Use (a) and (b) to show that the sample correlation between i  and Xi  is zero.

Question 2.   In a simple linear regression model with

E(Y) = α0 + α1 (X - X(-))

under the standard model assumptions, show that the expectation of the residual sum of squares (RSS) is (n - 2)σ2 , where

RSS = (Yi -Y(ˆ)i)2

andY(ˆ)i  =ˆ(α)0 + ˆ(α)1 (Xi - X(-)) is the ith  itted value. Deduce that ˆ(σ)2 =  is an unbiased estimator

of σ2 .

Question 3.   Observations Y in an experiment have constant variance σ2 and linear regression on a predetermined variable X.  The experiment is divided into two groups.  In the irst group the regression equation is

E(Y) = α1 + βX,

whereas in the second group the regression coefficient is the same but the intercept is diferent, i.e.

E(Y) = α2 + βX.

A sample of size n is taken from the irst group, and independently, a sample of size n is taken from the second group, so in total there are 2n independent pairs of observations (X, Y).  Obtain the least square estimators of α1 , α2 , β .

Question 4.

For any particular vehicle tyre run under given conditions of load, inlation pressure and ambient temperature, the equilibrium temperature T  (。C) generated in the shoulder of the tyre may be assumed to vary with the vehicle speed, S (in mph), according to an equation of the form T = α + βS. As part of an investigation into tyre performance, two tyres of the same size were run under the same load, pressure and ambient conditions at a number of diferent speeds, and the following shoulder temperatures were recorded: