Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MTH6154 Financial Mathematics I

Coursework 1

This coursework is not to be turned in. Try it yourself and ask questions during the tutorial.   Give all answers to 3 significant figures (e.g. 2.54 not 2.53782 and 0.0342% not 0.034239%).

Exercise 1. Suppose you put ↔700 in a bank account with nominal interest rate 3%.

(a)  How much money will be in the bank account three years from now if the interest is:

(i)  Compounded annually?

(ii) Compounded monthly?

(iii)  Compounded semi-annually?

(iv) Compounded continuously?

(b)  Find the effective interest rates reff  for each case (i)–(iv) from part (a).

(c)  Suppose the inflation rate is rinf  = 2%. Calculate the ‘inflation adjusted interest rate’ for each case (i)–(iv) from part (a).

(d)  Suppose interest is compounded semi-annually.  How long will it take for the bank balance to grow to £1,000?

Exercise 2. Suppose P is deposited in a bank account with interest continuously-compounded at rate r(t). Write down an expression, in terms of r(t), for:

(a)  The yield curve ¯(r)(t)                            (b) The bank balance at time t.

Exercise 3. Consider an asset that, for an initial investment of £1,000, gives you a  payment of £1,200 in two years’ time (the initial investment £1,000 is not returned to you).

(a)  In relation to this investment

(i) What is the return?                       (ii) What is the profit?

(iii)  What is the rate of return?           (iv) What is the annualised rate of return?

(v)  What is the IRR?                           (vi) What is the  IRR if the payment is taxed at 5%?

(b)  Suppose the prevailing interest rate was 7%.  Would you consider this a good investment

(i)  If there is no tax?                           (ii)  If the payment is taxed at 5%?

Exercise 4. Credit card company A charges a 23.4% nominal rate compounded daily, credit card company B charges a 23.5% nominal rate compounded monthly, and credit card company C charges a 24.2% nominal rate compounded annually. Which company offers the best deal?

Exercise 5. Suppose a bank offers interest that is continuously-compounded at nominal rate 4%, but offers an introductory interest rate of 3% for the first year.

(a)  Let r(t) denote the interest rate at time t (in years).  Sketch the graph of r(t).

(b)  By splitting the integral at t = 1, find the yield curve r (t) and sketch its graph.

(c)  If you deposit ↔500 in the bank today, how much will you have in the bank after three years?

Exercise  6. Let  r  be the  nominal  rate  and  let reff (n) denote the effective rate when interest is compounded n times a year. Show that the limit of reff (n) when the compound frequency n tends

to infinity is the effective rate for continuously-compounded interest, i.e. show that

n(l) reff (n) = er − 1.

[Hint:  Use the identity ab  = eb ×lna for suitable a and b, and use a Taylor expansion for lna.]

Exercise 7. The aim of this exercise is to show that the effective rate reff (n) is an increasing function of the compound frequency n.

(a)  By comparing derivatives at x ≥ 0 (or using any other method), show that

(1 + x)n  ≥ 1 + nx

for all n ≥ 1 and x ≥ 0 (this inequality is known as ‘Bernoulli’s inequality’).

(b)  By making an appropriate substitution for x, deduce that

(1 + ,n ≥ 1 + r              An ≥ 1,  r ≥ 0.

(c)  By making appropriate substitutions for r and n, show that

(1 + ,n2 ≥(1 + ,n1              An2 ≥ n1 ≥ 1,  r ≥ 0.

(d)  Conclude that the effective rate is an increasing function of the compound frequency.

Exercise 8. Derive a formula that expresses a nominal interest rate rn  that is compounded n times a year in terms of a nominal interest rate rm that is compounded m times a year, assuming that both give rise to the same effective interest rate.