1.  [default,O3e]

Consider the probability space Ω = fω1 , ω2 , ω3 g, with the probability P such that P(fωg) = 1/3 for every ω 2 Ω . Deine the random variables

Consider the one-period trinomial model of the market (B, S) made of a bond B with initial price 1 (all prices in a ixed currency, say £), and interest rate r = 1, a stock whose initial price is S0  = 4, and whose inal price is S1 .  In the questions (a-e) we consider the market model (B, S), and the random variables X1  and Y1  represent the payofs of two illiquid derivatives (with S as underlying); in question (f) Y1  represents instead the value at time 1 of a traded asset, which is part of the market model (B, S, Y).

(a) Is the market model (B, S) free of arbitrage?

A. No     B. Yes

(b) Is X1  replicable?

A. No     B. Yes

(c)  Is Y1  replicable?

A. No     B. Yes

(d) What is the set of arbitrage-free prices of X1?

A.  (2,4)     B.  [2,4]     C.  f4g     D.  f2g     E.  None of the above

(e) What is the set of arbitrage-free prices of Y1?

A.  (3,9/2)     B.  (6,9)     C.  f3g     D.  f6g     E.  None of the above

(f) Now enlarge the (B, S) market, by assuming that Y is traded at the arbitrage-free price Y0  at time 0.  If an illiquid derivative has a payof Z1  which is not replicable using only bonds and stocks (i.e. Z is not replicable in the (B, S) market), does Z1  have a unique  arbitrage-free price in the market (B, S, Y)?

A. Not enough info to answer (it depends on Z1)     B.  No     C.  Yes

2.  [default,O21b]

Suppose a British investor can:

1. deposit £ in a bank at the (domestic) interest rate r = 1/2

2. buy or sell $ (by paying/getting paid in £) at any time n with exchange rate Sn

3. deposit $ in a bank at the (foreign) interest rate f

The exchange rate Sn  is deined as the number of units of £ needed to buy one unit of $ at time n 2 f0, 1g, and is assumed to follow the one-period binomial model: we assume that S0  = 2, and S1  takes the values 4 and 1.

(a)  The formula

V1(x;h) := (V0 - hS0)(1 + r) + h(1 + f)S1

describes the total wealth V1  := V1(x;h) (in £) at time 1 of the investor whose initial capital (in £) is V0  = x, and at time 0 buys $h 2 R, and then deposits his £ and his $ in the banks.  What is the value (in £) of the $ held by the investor?