1.  (18 pts) Santa Claus  has a leet of 100 reindeer  who help him deliver Christmas presents to children around the world, 50 of which are naturally red-nosed and the other 50 are naturally brown-nosed.  The reindeer need to eat carrots on their Christmas eve shift.  Over the years, Santa observes that a brown-nosed reindeer eats 10 carrots on average, while a red-nosed reindeer eats 20 carrots on average. That is, E[YjX = 1] = 10 and E[YjX = 0] = 20 if Y stands for the number of carrots Santa has to supply to a random reindeer and X is the nose color dummy that equals 1 if that reindeer’s nose is brown and equals 0 otherwise.

(a)  (4 pts) In the linear conditional mean speciication:

E[YjX] = β0 + β1X:

What are the values of β0  and β1 ?

(b)  (4 pts) Santa has been thinking that all those carrots take up too much space in his sleigh.  He wants to ind away to reduce the number of carrots that the reindeer need.  An elf  made a suggestion:  “Since brown- nosed reindeer consume fewer carrots, why don’t we paint the red-nosed

reindeer’s noses brown?” Is this a good suggestion? Why or why not?

(c)  (4  pts)  Santa  thought  of another  idea:   aroma  therapy.   That  is,  if  a reindeer sleeps in a room with thick carrot smell, perhaps she will be so sick of carrots and will eat fewer of them.   Santa decides to run an experiment:   he  lets  a  randomly  selected  group  of  reindeer  sleep  in a room with thick carrot smell, and let the other reindeer sleep in their regular room. Then he takes them on the trip and collect a random sample {(Yi , Zi )gi(1)1(0), where Yi  is the ith reindeer’s carrot consumption on the trip and Zi   is the dummy variable that equals  1 if reindeer i was assigned to the room with carrot smell.  Assume perfect compliance.  How should Santa estimate the efect of the aroma therapy? Explain your answer.

(d)  (6 pts) Now suppose that compliance is not perfect:  some reindeer refused to sleep in the room assigned to them (though many complied).  Let  Si denote the dummy variable that equals 1 if the reindeer actually slept in the room with thick carrot smell. With the data set {(Yi , Zi , Si )gi(1)1(0) , how should Santa estimate the efect of the aroma therapy (that is, the efect of S on Y)? Explain your answer.

2.  (18 pts) Suppose that X takes only three values:  -1, 0, 1.  Also suppose that

Suppose that the probability mass function of X is

(a)  (10 pts) In the linear projection model

Proj(YjX) =  0 +  1X,

what are the values of   0  and   1 ?

(b)  (6 pts) Let D = 1fX = 0g.  In the linear conditional mean model:

E[YjD] = η0 + η1 D,

what are the values of η0  and η1 ?

(c)  (2 pts) If we have a very very large i.i.d.  sample  f(Yi , Xi  run the OLS regression of Y  on  D  (with  intercept)  using  the  sample,

what value is the OLS slope coefficient close to?

3.  (30 pts) Let X  stand for the average class  size of a random school district, and let D  be the dummy variable that equals  1 if the school district has a teacher’s aid in each classroom and equals 0 otherwise.  Let Y be the average math score of the district. Consider the (constant causal efect) causal model:

Y = β0 + β1X + β2 D + β3 DX + U,

where U stands for all other factors that participate in the generation process of Y. Normalize E[U] = 0.

(a)  (3 pts) In this causal model, what is the efect of one-unit increase of X on Y holding all other factors constant?

(b)  (7 pts) Suppose that D and X  are not randomly assigned, but are con- ditionally randomly assigned given W , where W is a dummy variable that equals 1 for districts where the majority of the population is Hispanic, and equals 0 otherwise. In other words, E[U|D, X, W] = E[U|W].  Using ani.i.d. sample {(Yi , Di , Xi , Wi  Describe in words or in terms of STATA commands fully and clearly, and explain why your proposed procedure gives you consistent estimators by

deriving E[Y |D, X, W].

(c)  (4 pts) Let θ  = β1  + β3 .   Let 1   1 and β3  based on the sample in part (c).  Propose a consistent estimator,  why your proposed estimator is consistent.

(d)  (8 pts) Suppose that √n (( 3(1) ) - ( β(β)3(1) )) → d  Z(~), where Z(~)     N(0(~), V) for some 2 根 2 variance covaance matrix V = ( σ 1(σ)  σ22(σ 12) ). Derive the asymp-totic distribution of √n(θ - θ). Show all steps and give reasons.

(e)  (4 pts) Suppose that V(~) is a consistent estimator of V , and V(~) = ( 015  02(.)5 ) in our sample. Let n = 100. Calculate the standard error  

(f)  (4 pts) If you would like the estimator and the standard error for θ in part (d) to be reported directly in the table output of the STATA regress com-mand, which regression should you run?  Describe the dependent variable and the explanatory variables fully and clearly.

4.  (16 pts) Consider the supply and demand system:

Q = β0  + β1 P + β2 Z1(d) + β3 Z2(d) + Ud

Q =   0 +  1 P +  2 Z1(s) + Us ,

where Q is the equilibrium sales quantity of a random market, P is the equi-librium price, Z1(d)  is the population size and Z2(d)  is the average income and Z1(s)  is the marginal cost of supplying to this market.  Also Ud  and Us  summarize the unobserved demand and supply shifters.

Suppose that β1       1 .  Also suppose that E[Z1(d)Ud] = E[Z2(d)Ud] = E[Z1(d)Us] = E[Z2(d)Us] = E[Z1(s)Ud] = E[Z1(s)Us] = 0. Normalize E[Ud] = E[Us] = 0.

(a)  (4 pts) Solve for the reduced form of P.  (That is, write P as an expression that does not involve Q.)

(b)  (6  pts)  Suppose    2    =  0,  and(β(β)3(2) )    0(~) .   Based  on  an  i.i.d.   sample {Qi , Pi , Z1i(d), Z2i(d), Z1(s)i  , which parameter(s) among {β1 ,  1 g can be con-sistently estimated?  Describe a consistent estimator for each parameter that can be consistently estimated, and explain why the other(s) cannot be consistently estimated.  You can describe the estimator using either STATA command, or verbal description, or math formula.  Either way, the description should be complete and clear.

(c)  (6 pts) Also use the i.i.d.   sample  {Qi , Pi , Z1i(d), Z2i(d), Z1(s)i 

do not know whether any of   2 , β2 , and β3  is zero or not.   How can we test the null hypothesis that H0  : ( β(β)3(2) ) = 0(~)?  Describe the test carefully, including the regression to run to enable the test. You can either answer using STATA commands or using verbal and/or math description.  (Hint: your answer to (a) might be useful.)

5.  (18 pts) Consider the heterogeneous treatment efect model

Y = β0 + β1X + U,    E[U] = 0

where β1  is an unobserved random variable that stands for the the heteroge- neous causal efect of X  on Y  and  U  summarizes unobserved factors in the generation process of Y.

(a)  (4  pts)  Suppose  that  X  is  randomly  assigned,  i.e.,  E[X|U]  =  0 and

E[β1 |X] = E[β1].  With an i.i.d.  sample {Yi , Xi  run an OLS regression of Y on X  (with intercept).  Let the OLS slope coe伍cient be denoted 1 .   What 1  converge in probability to as

n → ∞ ? Explain your answer.

(b)  (9 pts) Now suppose that there is a control variable W such that E[U|X, W] =

E[UjW] and E[1 jX, W] = E[jW].  Also assume that E[UjW] =   0  + 1 W ,  and  E[1 jW]  =  η0   + η1 log(W)  for  some  constants    0 ,   1 , η0 , η 1 .

Derive E[YjX, W] and propose a consistent estimator for E[1].

(c)  (5 pts) Suppose that we are interested in the conditionalATE θ = E[1 jW = w*] for a given value w* . And we do not believe that the functional form    assumptions on E[UjW] and [1 jW] in part (b) hold on the whole support    of W.  Instead, we think that the function form assumptions in part (b)    hold (approximately) for W in the interval [w*  - h, w*  + h] for a small   positive number h.   Propose  an  appropriate  estimator for θ .    Describe    your estimator fully and clearly, using either STATA command, or verbal description or a combination of the two.