Problem 1.  [10 points] Let F : R2  → R2  be the vector field defined by

F(x,y) = (−y, ey3  + x)

and let C+  be the part of the circle x2  + y2   =  1 with y  ≥ 0 oriented from (1, 0) to (−1, 0).

Compute the line integral

lC+  F · dr.

Problem 2.  [10 points] Let f : R3  → R be the function defined by

f(x,y, z) = 1 +“1 + x2 + y2

and let S be the part of the paraboloid 2z = x2  + y2  with z ≤ 8.  Compute the surface integral

llS f dS.

Problem 3.  [10 points] Let F : R3  一 R3  be the vector field defined by

F(x,y, z) =( —ezy,ezx,(log(x2  + 3y2 + 1))3  — cos(x2 — 3y + 1))

and let S+  be the part of the hyperboloid x2  + y2  — z2   = 1 with — 2 三 z 三 2 oriented by the unit normal vectors pointing away from the z-axis. Compute the surface integral

llS+ (Δ X F) · dS.

Problem 4.  [10 points] Let F : R3  → R3  be the vector field defined by

F(x,y, z) =  (x − 2, y + 1, z)

and let S+  be the sphere x2  + y2  + z2   = 16 with outwards orientation.  Compute the surface

integral

llS+  F · dS.

Problem 5.  [10 points] Find the Fourier sine series and the Fourier cosine series of the function f : [0, 1] ⊂ R → R defined by f(x) = x2 .

Problem 6.  [10 points] Solve the following initial boundary value problem:

ut  = uxx ,    0 < x < 1, t > 0;

〈 u(0, t) = −1, u(1, t) = 2,    t > 0;

( u(x,0) = 3x − 1 + sin(πx) − 3sin(5πx),    0 < x < 1.

Problem 7.  [10 points] Solve the following initial boundary value problem:

ut  = uxx  − 7u,    0 < x < 3, t > 0;

〈 u(0, t) = 0, u(3, t) = e3√7  − e−3√7 ,    t > 0;

u(x,0) = e√7x  − e−√7x + 2sin  ,    0 < x < 3.

Problem 8.  [10 points] Solve the following initial boundary value problem:

utt  = uxx  − x2 sin(t) − 2sin(t),    0 < x < 5, t ∈ R;

 u(u)) s3(x)x(5)t01x(in));  t ∈ R;

ut (x,0) = x2  + 1 + cos ( 5(πx)) ,    0 < x < 5.

Hint: First show that the function φ(x,t) = x2 sin(t) is a solution of the PDE

utt  = uxx − x2 sin(t) − 2sin(t).