Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECE-GY 5253 Final

Fall 2022

Due:  Dec.  19th.  Monday, 7:30 pm, US Eastern Time.

1    Problem 1

Are the following statements true or false? If true, prove the statement. If false, give a counterexample.

1.  Let A E R3×3.  If each eigenvalue of A is zero, then A2  = 0.  (Note:  0 denotes the zero matrix E R3×3)

2.  Let A E Rn ×n  be a real symmetric matrix, and λ1 ,λ2 ,...,λn  the eigenvalues of A, then

IAI2  = mi(a)x|λi |

where |λi | denotes the absolute value of λi  for i = 1,...,n.

3.  Let A  E Rn ×n  and aij   denote the element in ith  row and jth  column.   If 0  ≤ aij   <  1 Ai  E n

{1,..., n}, j E {1,..., n}, and： aij  < 1 for i = 1,...,n, then ρ(A) < 1 where ρ(A) is the spectral j=1

radius of A.

2    Problem 2

Let A = αβT  where α,β E Rn  and βT α  0.

1. When will the linear system ˙(x) = Ax be asymptotically or marginally stable?

2.  Compute eAt .