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ISE  538  Final  5/5/23:  All  parts are worth  10 points.   Explain your answers.

1.  Let N (t), t ≥ 0 be a Poisson process with rate λ. Find

(a) P (N (5) = 6jN (4) = 2)

(b) E[N (4)N (5)]

2.  Let N, X1 , X2 , . . . be independent, with N being Poisson with mean λ, and the Xi  being exponential with rate μ .

(a)               E[min(X1 , . . . , XN +1)] is equal to

(i)  ,  (ii)  ,  (iii)  ,  (iv) none of the preceding.

Let M be Poisson with mean 5μ .

(b)               P (：i(4)=1 Xi  > 5) is equal to

(i) P (M ≤ 3),  (ii) P (M > 4),  (iii) P (M ≤ 4),  (iv) none of the preceding.

3.  Two customers move among four servers.  After completing service the customer leaves that server and is equally likely to enter service at either of the other two idle servers.   (So if customers are with severs 1 and 2, then the next to complete service is equally likely to go to either server 3 or 4.)  The service times at server i are exponentially distributed with rate μi. Let the state at any time be the pair of currently busy servers.

So the state is (i, j), i  j if servers i and j are busy.

(a) Give the balance equation for the state (1, 2) .

Assume that the balance equations have been solved and you know P(i,j), i ≠ j, the proportions of time in each state.

(b) Find P (i), the long run proportion of time that server i is busy. (c) Find the rate at which services are completed.

(d) Find the proportion of all service completions that are by server 1.

4.  There are 3 coins, with each lip of coin i coming up heads with probability pi. A coin is continually lipped until it comes up tails, at which point one of the other two coins is randomly chosen to be lipped next.   We are interested in determining α, the proportion of lips that land heads.  Let Xn , n ≥ 1 be a Markov chain that can be used to ind α .

(a) What does Xn  represent.

(b) Give the transition probability matrix of this chain.

(c) Give the equations whose solution will yield the long run proportions for this chain. Do not solve.

(d) In terms of these long run proportions, what is α .