Figure 1:  Block diagrams of a) parallel, b) series, and c) feedback connections of systems H1(s) and H2(s).

For the parallel connection check that (A,b,c) = (A Ⅱ, b Ⅱ, c Ⅱ) with

A Ⅱ = [  0(A)1      A(0)2   ]   ,   b Ⅱ  = [ b2(b1) ]   and  c Ⅱ = [ c1     c2   ] .

For the series connection check that (A,b,c) = (AS,bS , cS ) with

AS  = [ b2(A)c(1)1     A(0)2  ]   ,   bS  =  [ 0(b1) ]   ,   cS  =  [ 0   c2  ] .

Finally, for the feedback connection, verify that (A,b,c) = (AF,bF , cF ) where

AF  = [ b2(A)c(1)1     −A2(b1)c2  ]   ,   bF  =  [ 0(b1) ]   ,   cF  =  [ c1     0 ] .

b)  Use the PBH tests to verify that  (A Ⅱ, b Ⅱ) is reachable and (c Ⅱ, A Ⅱ) is observable, so that the parallel connection is always minimal.

c)  By using the PBH test, prove that (AS, bS ) is reachable if and only if b1 (s) and a2 (s) have no common zero, i.e.  if there is no pole-zero cancellation between the numerator of H1(s) and the denominator of H2(s).  Likewise, show that  (cS , AS ) is observable if and only if b2 (s) and a1 (s) have no common zero, i.e.  if there is no cancellation between the numerator of H2(s) and the denominator of H1(s).

d)  By using the PBH test, prove that (AF, bF ) is reachable if and only b1 (s) and a2 (s) have no common zero. Similarly, show that (cF , AF ) is observable if and only if b1 (s) and a2 (s) have no common zero.

e)  The tests obtained in part d) indicate that the feedback connection of H2(s) and H1(s) of part c) of Fig. 1 is reachable if the series connection of H2(s) and H1(s) shown in part b) is reachable.  Likewise, the feedback connection is observable if the series connection of H1(s) and H2(s) (the order of H1(s) and H2(s) is exchanged in part b) of Fig. 1) is reachable.  Use the deinitions of reachability and observability to interpret these results.

Problem 2:  (50 points)

Consider the electrical circuit shown in Fig. 2

v3

Figure 2: Electrical circuit.

a)  By selecting the capacitor voltages and inductor current as state variables, obtain a state-space model for this circuit.

b)  Perform a four part Kalman decomposition of this system into parts which are reach- able and observable, reachable and unobservable,  unreachable and observable,  un- reachable and unobservable.

c)  Specify which physical variables in the circuit are unreachable or unobservable, and provide a physical interpretation for their lack of reachability and observability.

d)  Compute the transfer function H(s) = Y (s)/U(s) of the system. What would be the dimension of a minimal realization of this transfer function?

Problem 3:  (50 points)

Spring-mass models play a major role in the study of large mechanical structures such as satellites, antennas, of-shore platforms, etc.  They consist of coupled second-order dif- ferential equations of the form

M¨(x)(t) + L˙(x)(t) + Kx(t) = Pu(t)

y(t) = Q˙(x)(t) + Rx(t) ,

where x, u and y are n-, m-, and p-dimensional vectors of position coordinates, inputs, and outputs, respectively.  M is a diagonal matrix of positive constants representing the masses or moments of intertia of the system, and we will assume here that the measurement matrix units are selected in such a way that M is normalized to the identity matrix, so that M = In.  K is typically a symmetric non-negative deinite matrix, i.e.  KT  = K ≥ 0.  The matrix L can be decomposed as

L = D + G

where

D = (L + LT)/2  and  G = (L − LT)/2

represent respectively the symmetric and skew-symmetric parts of L, since DT  = D and GT   =  −G.   D  represents dampling forces and is typically non-negative deinite,  and G represents gyroscopic forces.  The matrices P , Q and R describe the coupling of sensors and actuators to the system and do not have a speciic structure.

a) What is the matrix transfer function of this system? Construct a state-space realiza- tion

˙(z)(t)   =   Az(t) + Bu(t)                                             (1)

y(t)   =   Cz(t)                                                           (2)

of this system. Give a physical interpretation of the states of this realization.

b)  The stability of spring-mass systems is usually determined by considering the so-called latent values and latent vectors of the matrix polynomial

W(s) = s2 In + sL + K

which are the complex numbers λ ∈ C and nonzero complex vectors p ∈ Cn  such that

W(λ)p = 0 .

They can be viewed in some sense as generalized eigenvalues and eigenvectors asso- ciated with the matrix polynomial W(s).  The latent values are just the zeros of the characteristic polynomial

w(s) = det(W(s)) .

Show that w(s) is also the chracteristic polynomial of the matrix A appearing in the state space-realization (1) of part a).  Can you interpret the latent vectors p in function of the eigenvectors v of A?

Hint: A good starting point is to note that ifv  0 is aneigenvector of A corresponding to eigenvalue λ, we have

Av = λv .

Then, partitioning v in accordance with the block structure of A and eliminating variables should lead you to the desired answer.

c)  Show that the state-space realization that you have obtained in part a) is reachable if and only if there is no left latent vector q associated to a latent value λ, i.e,

qT W(λ) = 0  with  qT   0

such that

qT P = 0 .

d)  Similarly, show that the state-space realization obtained in part a) is observable if and only if there is no right latent vector p associated to latent root λ, i.e.

W(λ)p = 0  with  p  0

such that

(λQ + R)p = 0 .

e)  Consider the case of a conservative system with D = 0 (no dampling).  Show that the nonzero latent values of such a system occur in pairs ±jω, and the zero latent values correspond to latent vectors in the null space of K.

f)  To illustrate the results of parts a)-e), consider a system consisting of three carts with mass m coupled by springs with constant k, rolling frictionlessly in the horizontal direction, as shown in Fig. 3.

u1         ku2                          ku3

x

x1

x2

x3

Figure 3: System of three elastically coupled carts.

The displacement of the i-th cart with 1 ≤ i ≤ 3 with respect to its rest position is denoted by xi  and ui  is the external force applied to cart i.  Then the equations of

motion of the carts are given by

m¨(x)1     =   u1 + k(x2 − x1 )

m¨(x)2     =   u2 + k(x3  − x2 ) − k(x2 − x1 )

m¨(x)3     =   u3 − k(x3 − x2 ) .

Find all the latent values and latent right and left vectors of this spring mass system. Show that the system is unstable. Give a physical interpretation of the lack of stability of the system.  to do so, you may want to derive the equation of motion satisied by the center of gravity

-     1

x = 3 (x1 + x2 + x3 )

of the system.

g)  Determine whether the spring-mass system of part f) is reachable with the input u1  alone, or u2  alone, or u3  alone.  Suppose that we seek to observe the system by measuring the displacement xi, 1 ≤ i ≤ 3 of one cart.  Is the system observable from x1  alone, from x2  alone, or from x3  alone?  If the system of part f) is viewed as an idealization of a train with three cars (including the locomotive), where do you think the locomotive should be placed in the train?

h) A MEMS z-axis gyroscope which is intended to estimate the angular velocity Ωz  of a system rotating about its z-axis is shown in Fig. 4.

k                 d

k                             k

m

Proof mass

d                             d

k                 d

Figure 4: Model of a MEMS z-axis gyroscope.

Under the efect of the Coriolis force induced by the rotation about the z axis, a mass m oscillates in the x and y directions. Spring and dampling forces are present in the x and y direction. To keep the model simple, we assume that the spring and damping constants k and d are the same in the x and y directions.  If ux  and ug  are the control forces applied in the x and y directions, the dynamics of the gyroscope are described by

m¨(x) + d˙(x) + kx   =   ux + 2mΩz˙(y)

m¨(y) + d˙(y) + ky   =   ug  − 2mΩz˙(x) ,

which can be rewritten in vector form as

ξ(¨)(t) + Lξ(˙)(t) + Kξ(t) = u(t)

where

ξ(t) = [ y(x)t(t) ]   ,   u(t) = [ ug(ux)t(t) ] ,

L = [ 2(d)Ωz(/m)   d(−)/(2)m(Ωz)  ]   and  K = I2 .

Typically the constant d/mis very small, so it can be neglected in irst approximation. With this assumption, verify that this system has four latent purely imaginary values ±jω1  and ±jω2 , and that the gyroscope is reachable with ux  alone, or ug  alone.

Problem 4:  (50 points)

Consider a pendulum of length ℓ whose mass is totally concentrated on its end, and where θ denotes the angle of the pendulum with respect to the vertical, as shown in Fig. 5.

mg

Figure 5: Pendulum controlled by a torque.

If T(t) denotes the torque applied to the pendulum, its equation of motion is given by

Iθ(¨)(t) = −mgℓsin(θ(t)) + T(t)

where I = mℓ2  denotes the moment of inertia of the pendulum about its axis of rotation. The displacement angle θ(t) is assumed to be small, so that sin(θ) ≈ θ, and accordingly the pendulum dynamics can be rewritten as

θ(¨)(t) + ω0(2)θ(t) =