1.  Survival Analysis

Survival Analysis is a subield of statistics that studies time to a speciic event (such as death or malfunction of an equipment) as a random variable.  The statistical properties of the random variable such as meantime to an event are very important in manyields such as biostatistics and reliability engineering.

In this project, you will perform survival analysis on benchmark data and learn about statistical tools for survival analysis such as the Kaplan-Meier estimator and the Cox Proportional Hazards Model.

It is highly recommended that you complete this project using R’s survival analysis packages, survival and survival models.

(a) Data Exploration and Pre-processing

The data set for this project is the pbcseq data set in the survival package in R that contains multiple laboratory results on the irst 312 patients of the famous pbc dataset, among which  140  had died and the rest were censored   and the sex ratio is at least 9:1 (women to men) as of the data set.  The main purpose of this study is to investigate the impact of D-penicillamine and bilirubin to lifetime of patients with Primary Biliary Cirrhosis (PBC). The data set contains the covariates, which are (in the order presented in the dataset):

case number;

number of days between registration and the earlier death, transplantation, or study analysis time;

status: 0=alive, 1=transplanted, 2=death;

drug (trt): 1=D-penicillamine, 0=placebo;

age in days, at registration;

sex: 0=male, 1=female;

day: number of days between enrollment and this visit date; remaining values on the line of data refer to this visit;

presence of ascites: 0=no, 1=yes;

presence of hepatomegaly:  0=no, 1=yes;

presence of spiders:  0=no, 1=yes; 

presence of edema:  0=no edema and no diuretic therapy for edema, 0.5=edema present without diuretics, or edema resolved by diuretics;  1=edema despite di- uretic therapy;

serum bilirubin in mg/dl; albumin in gm/dl;

alkaline phosphatase in U/liter;

(ast) aspartate aminotransferase, once called SGOT (U/ml);

platelets per cubic ml/1000;

prothrombin time in seconds;

and histologic stage of disease.

(b) Creating A Survival Object

The irst step for survival analysis is to create a survival object from data using the Surv function. S  =  Surv(data$day,  data$futime,  status)

(c) The Kaplan-Meier Estimator

i. The Kaplan-Meier Estimator is a simple estimator that estimates the survival function SX (t) = r(X  > t) =  1 - FX (t) of the random variable X, time to a speciic event.   In case when no censoring exists in data, what is the relationship between the Kaplan-Meier estimator and the so-called empirical distribution function of X?

ii.  Build the Kaplan-Meier estimator for each level of the covariates drug and sex Survfit and plot the estimator for all of the levels of each covariate on the same igure.  The horizontal axis in the Kaplan-Meier estimate is time. Times in the dataset are in days. Convert them to years for clarity.

iii. Create anew survival object for right censored data. S2  =  Surv(data$futime, data$status).  The irst argument is follow-up time and the second argu-   ment is the status.  Using the survdiff function, determine whether sex and   drug have signiicantly diferent Kaplan-Meier survival functions.  Explain the   log-rank test and its relationship with the χ2  test used to test the diference.   Test at α = 0.05.

(d) Cox Proportional Hazard Model

(e)  Make yourself familiar with the concept of a hazard function, a cumulative hazard function, and their relationship with the survival function.    Cox regression is a method to estimate proportional hazards using a regression model that is itted using Maximum Likelihood Estimation. This model can be time-varying.

All covariates in this dataset other than sex and drug (trt) are time-varying, so we will have a time-varying model. Note that coefficients are time invariant.

i. We will use log of the two covariates alkaline phosphate and platelet.  Perform the conversion.