Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

QF1100 Introduction to Quantitative Finance

Homework Assignment 3

The assignment carries a total of 50 marks.   The marks for each individual question or part are as indicated.

0.   (a) Write your name and matriculation card number on your answer script, and submit only one combined pdf ile of your answer script.   [1]

(b) The name of the pdf ile should be your matriculation card number which starts with  A,  followed  by  QF1100  Homework  3.    For  example,  if  your  number  is A123456, then your ile name should be “A123456 QF1100 Homework 3” .       [1]

1. On April 1st, a bread company would like to long 200; 000 bushels of wheat futures for

delivery on 1st October. Details of the futures market price are shown in the table.

For simplicity this table shows accounting on a monthly basis, rather than on a daily basis.  There is no interest in the margin account.  The margin account follows the Federal Reserve Board’s Regulation T (i.e., the initial margin and maintenance margin level should be 50% and 25% respectively of the total value of the contracts).

In the following questions, give all your answers in exact values of decimal numbers or integers.

(i) What is the initial margin amount to open a margin account?                         [1]

(ii) Assume that Lee deposits the initial margin amount to his marginaccount. During this 6 months, is the margin call issued? Please justify your answer.                [3]

(iii) What is the balance of this account in Sept.  2nd?  If the margin call is issued, Lee will top up and keep the balance at the maintenance margin level.            [3]

2. The current price of silver is $20 per ounce.  The storage cost is $0.1 per ounce per half-year, paid at the start of every half-year.   The price of a forward contract for delivery in one year is $20.25. Assume perfect market and no transaction cost.

(i) Assuming a constant (nominal) interest rate of 20% is compounded semi-annually. Does there exist an arbitrage opportunity? If yes, please explain how to take this opportunity to make proit? If no, please justify your answer.                           [4]

(ii) Find the nominal interest rates r compounded semi-annually (to four signiicant igures) such that there is no arbitrage opportunity. Please justify your answer. [3]

3. Lee has a bakery company that will need to buy 80,000 pounds of strawberry in 3 months.   Lee is worried about possible price changes,  so he is considering hedging. There is no futures contract for strawberry, but there is a futures contract for orange juice. Currently the spot prices are $1.90/lb for orange juice futures and $5.40/lb for strawberry.  The standard deviation of the luctuations of the prices of orange juice futures and strawberry is about 20% and 35%, and the correlation coe伍cient between them is about -0.6.

(i) By the minimum-variance hedge method, how many pounds (to 2 decimal places)  of orange juice Lee should hedge?  Should Lee long or short the futures for orange juice?           [3]

(ii) By what factor, does the minimum-variance hedge reduce the risk?  Give your answer in exact value.              [2]

(iii) What is the risk of this hedge (i.e. what is the standard deviation of the minimum-  variance hedge)? Give your answer in exact value.                     [2]

4. Let St  be the price of a stock at time t, and let S0  = $100 be its price today. Suppose that its up-factor and down-factor after one month are u = 1.2 and d = 0.8, and the probabilities of the stock price’s up and down movements are pu  = 0.6 and pd  = 0.4. Assume that the stock pays no dividends, and the rate of a risk-free asset is r = 24% compounded monthly.

(i) Let K1  and K2  such that 0     K1         K2  and K1  + K2  = 200.  Let P be a portfolio  of derivatives with the stock as its underlying asset, whose whose maturity date  is in one month, and whose gross payout is max(S1  - K1 , 0) - max(S1  - K2 , 0).  Using the binomial model, ind the price of P in terms of K1 .                         [5]

(ii) A certain call option on this stock has an expiration date 2 months from now and  strike price of $118.5.  Determine the theoretical price of this call to 4 signiicant igures.                         [4]

(iii) If pu   = 0.8 and pd  = 0.2, what are the prices for the derivatives in (i) and (ii)? And why?                                 [2]

5. Let St  be the price of a stock at time t, and let S0  = $100 be its price today.  Its up- factor and down-factor after one period are u = 4 and d = 0.5, and the probabilities

of the stock price’s up and down movements in the real world are pu d . Let SN  be the price of this stock at time T = N periods.

(i) Find the probability distribution function of SN . Please justify your answer.   [4]

(ii) Find the expected values E[SN ] and E[ln(SN )].  If you use results on the expected value of certain random variables, you need to justify them.  Give your answers in simpliied and exact term in which the variable N is allowed.  [Hint:  Use the  formulae (1 + x)n (iii) Suppose one period is 6 months.  The continuously-compounded risk-free rate is 0.12. A one-year European option has payof function max (pS2 ,  10(S1)), where Si is the stock price at the end of the ith period, i = 1, 2.  Find the price of this option. Give your answer to 3 signiicant igures.                                          [6]