The below homework specifications will be enforced.  If the specifications are not respected, points might be deducted, or the homework assignment may not be accepted for grading.  Each exercise is worth 10 points.

Guidelines for your work

•  Write your name (as on the roster) and NetID on the first page.

•  If you write on paper, use clean and new sheets of paper and take as much space as necessary.

•  Number your pages in the top-right corner, such as 1/3, 2/3, 3/3.

•  Use a draft and hand in your final version.  Make sure that it

-  is clean and legible;

-  has each problem clearly indicated;

-  does not have anything crossed out or contain notes in the margins;

-  has solutions in which all steps are clearly shown and explained, including all steps of the computations;

-  has grammatically correct complete sentences, including punctuation and spelling;

-  is written using correct mathematical terminology and notation;

-  has final answers in exact forms (do not approximate unless otherwise stated).

•  You  may  consult  your  classmates  or  other  resources  (including  Campuswire  and  office  hours) for ideas on the problems; however, the solutions you turn in must be in your own words and must reflect your own understanding.  Your solutions and write-ups will be checked for textual similarities.  You may not copy from, reword, or paraphrase another student’s work or any other resource material; such conduct will be treated as a violation of academic integrity.  Remember that you will not learn anything by simply copying, rewording or paraphrasing another person’s work.

Guidelines for Gradescope

•  You can either write on blank or lined paper, use a tablet, or type your assignment in LaTeX.

•  Your work should be uploaded as a single PDF file (not as separate photos).

•  If you write down on paper, scan your work using a scanner or an app.  Make sure that the scans are not blurry and are in portrait mode.

•  When you upload this file, match each exercise with the corresponding pages.

Exercise I: Understanding the results

Prerequisites: MVT,  Variations, Concavity

1.  The police sets up two speed radars on a road, where the maximum speed is 60 miles per hour. One radar is at 10 miles, and the other at 20 miles. The first radar measures a car going at 50 miles / hour at 10:23.  The second radar measures the same car going at 55 miles / hour at  10:31.  The police issues a speed ticket for this car. Why?  Your answer should be mathematically precise and make use of the MVT.

2.  Each of the following statements are false. For each of these, give a counterexample (you can give a formula or draw a graph) demonstrating why the statement is false. Make sure to explain why the counterexample works.   All your counterexamples should be differentiable functions.

(a)  If f′ (c) = 0 for some c ∈ (1, 5), then f has a local extremum at c.   (b) If f′′ (c) = 0 for some c ∈ (0, 3), then f has an inflection point at c. (c) If f is concave down on (−∞ , +∞), then f2  is concave down.

(d) There exists c ∈ (1, 4) such that f (4) − f (1) = f′ (c).

(e) If f (x) > 0 and f′ (x) > 0 for all x ∈ (−∞ , +∞), then f is concave up.

Exercise II: Variations and extrema (4.1, 4.3)

Prerequisites: Extrema,  Variations,  Concavity

1.  Find the global extrema and the points where they are attained of

g(s) = 2s(s2)  1(2)

on [0, 4].

2.  Consider

b(u) = u2 − 2u + 1 .

Give its domain and its intervals of increase or decrease.

3.  Consider the function f (x) = ln(x2 −4x+5). Find the intervals where f is increasing and decreasing, where it is concave up or down, its limits at ±∞, its local and global extrema (if any), and its inflection points.

Exercise III: Function study (3.2, 4.1, 4.3)

Prerequisites: Extrema,  Variations

Consider the function f (x) = 3 ln(x − 1) − 2x + 7 on the interval (1, +∞).

1.  Find

lim f (x),      lim  f (x).

x→ 1+                           x→+∞

2.  Find the intervals where f is increasing or decreasing.

3.  Give the global extrema of f (if any) and where they are attained.

4. Explain why f has exactly two roots (x-values for which f (x) = 0).  No need to be technical.

5. Now, restrict the domain of the function to the interval [5/2, +∞).  Show that f has an inverse function, and find the domain and range of f−1 .

6. Assume that f actually represents the total profit (in millions of Euros) from the sale of x thousand motorcycles. What is the interpretation of the result of Question 3 (extrema) in this context? And of Question 4 (roots)?