Instructions (PLEASE READ CAREFULLY before start- ing):

.  Please use the assigned space for the questions if possible.

.  Please do not forget to assign your answers to the designated space in the gradescope outline.   Anything  outside  the  designated  space  may not be graded.

.  This test has a total of 3 questions and 100 points. You have 1h 30m to solve it, that is, 90 minutes.

. You will have 30 extra minutes to take care of logistics (taking pictures, organizing, uploading, etc) for a total of 120 minutes.  Given this extra time:

–  Late exams will be not be accepted under any circumstances.

–  Exams sent via email or other means that are not Gradescope could be subject to a penalty of up to 20 points.

.  Show your work, unless you are explicitly told not to!  No credit will be given for correct answers if you do not justify your argument.   Be precise but brief. If a correct reply is hidden among wrong, or irrelevant, arguments, you will not get full credit. If time is running short, you should try to set up the problem without doing the inal calculations.

. If you think the question is poorly formulated or missing assumptions, please state this in your answer.  Keep in mind, however, that if you are wrong the grading will relect this.

. You  can  ONLY  CHECK  Handouts  PDF,  Live  Lecture  PDF Notes, and your own personal notes from lecture.  NOTHING ELSE.

Questions

Question 1 (30 points)

All parts have equal weights.  In all cases, explain/justify your answer.

1.  Suppose you want to estimate the efect of government expenditure, X, on GDP, Y , where X is coded as flow, medium, highg. One expert suggests the following regression:  Y = β0 + β1 D + U where D = -1 if X = low , = 0 if X = medium and = 1 if X = high.

(i) Would this suggestion yield misleading results? Please explain. (ii) If the answer is ”yes”, how would you do it properly?

2.  True or False.   Consider the linear regression model Y  = a + bX + U. Then, the adjusted R2  coincides with the R2 .

3. In a ixed efect model, Yi;t  = λt + ui;t  where i = 1, ..., n and t = 1, ..., T with T ixed and n ! 1.  Are the ixed efects,  (λt )t , consistently esti- mated? Please explain.

4.  Consider the ixedefect model Yi;t  = αi +β1 Xi;t +ui;t where Cov(αi , Xi;t ) = 0 for all i and t.

(i)  “The OLS estimator of the pooled regression will be consistent and asymptotically normal”. True or False, please explain.

(ii) “The standard errors of the OLS estimator will also be correct, pro- vided we do not impose homesckedasticity”.  True or False, please explain.

5.  Consider a linear regression model Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + U.  “If the t-tests for β1  = 0 and β2  = 0 do not reject each null hypothesis, then the F-test will not reject β1  = β2  = 0.” True or false, please explain.

6.  True or False.  “Suppose Y = β0 +β1 X+U and U = X2 +E with E     N (0, 1) and X     N (0, 1).  Then the OLS is inconsistent due to omitted variable bias.”

Question 2 (40 points)

All parts have equal weights

Suppose you want to asses the efect of federal stimulus package on state- level GDP. Some states received the package (Xi  = 1) and some others didn’t (Xi  = 0).  You have two periods (before and after the policy) where Yi;t  is the observed GDP of state i in period t.

Suppose the true model is given by

Yi;t  = αi + 0.2 x Xi Dt + Dt + Ui;t

where Ui;t  is mean zero and independent of Xi  and Dt  is a dummy that takes value 1 if t = 1 and αi  is a ixed-efect that measures the state time-invariant characteristics.

Instead of running the true model, a researcher runs an OLS regression that

Y(ˆ)i;1  = 1.5*** - 0.3***       Xi

(the stars denote signiicance at 99 percent).

1.  Someone points out that the stimulus package decision may not be ran- domly assigned. What type of correlation between Xi  and the other vari- ables of the model can explain the surprising result of the OLS regression?

2.  Argue that a ixed efect model can solve the potential source of the en- dogeneity.

Suppose the panel data estimator is given by

Yi;t  = 0.2***       Xi Dt + 1.01***       Dt + Ui;t

3 In view of the results, do you think the government policy is random? Please describe the potential source of endogeneity and its direction (i.e., sign of the correlation).

4  Someone is concerned about a potential omitted variable bias because the state region (e.g., coastal, mid-west, etc) was not included. Is this a valid concern? Please explain.

5  Someone points out that the efect of the stimulus package on GDP de- pends on in which region the state is (there are 4 regions:  west,  south, north, east).  The original model was of the form Yi;t  = αi  + βXi Dt  + Dt + Ui;t.  How would you modify this regression model to allow for this feature? Please write down the new regression model and explain.

Question 3 (30 points)

Consider the following panel data model with t 2 f1, 2g

Yit  = β0 + β1 Xit + αi + Uit.                                     (1)

Suppose E[α] = 0, Cov(Xt , α)  0 for all t, and E[U2  j X1 , X2] = E[U1 jX1] = 0.

1.  Argue that the ixed efect estimator for β1  may be inconsistent.

2.  Construct an estimator for β1   (Hint:  Use the  “moment restriction” on the residuals U.) and

(a)  Show that it is consistent for β1 .  Hint:  You can assume that the LLN holds.

(b)  Show that it is asymptotically normal.  Hint: You can assume that the CLT holds.

3.  Now suppose that Cov(Xt , α) = 0.  Derive the correct standard errors for the OLS estimator of β1  that uses the pooled data.