Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Semester 2 , 2023

School of Mathematics and Statistics

Calculus and Probability Online (CPOS223)

Writing time: 3 hours

Reading time:  15 minutes

Module 1 - Calculus

Question 1 (7 marks)

(a)  Given that                              (3 marks)

show that

Question 2 (6 marks)

Let f : , where k is a positive real constant.

(a) Find f'(x).                                                                                                          (2 marks)

Question 5 (11 marks)

For the function f : R → R deined by f (x) = 2e(4x-2) + 1

(a) Find the coordinates of the points where the graph of f cuts the axes (x and y intercepts).

Use e-2 = 0.135                                                 (4 marks)

(b) Find the rule for the inverse function f-1 (x).                                                         (3 marks)

(c)  Sketch the graph off (x) and f-1 (x) on the same set of axes on the graph given.     (4 marks)

Don’t forget to include and label asymptotes, x and y intercepts for both f (x) and f-1 (x) .

Question 6 (14 marks)

Consider the function f : 

(a)  Describe the full set of transformations, which when applied to the graph of y = cos(x) pro-duces the graph of f.     (2 marks)

(b) Find x- and y- intercepts for f (x) over the given domain.                                       (7 marks)

(c)  Sketch the graph of y  = f (x).  Do not forget to label x-, y- intercepts and end points. (5 marks)

Question 7 (16 marks)

Consider the function f :  such that

(a)  Find the smallest value of' a' such that f is a one-to-one function.

(b) With the value of' a' found in part (a) state the range of f (x).                     (2 marks)

(c) Find turning point and axes intercepts for f (x) over the given domain.           (5 marks)

(d)  Sketch the graph of y = f (x).  Do not forget to label x-, y- intercepts and turning points. (3 marks)

(e) Find the area of the region bounded by the curve f (x)  = 3 + 2x - x2  and the x- axis. (4 marks)

Question 8 (10 marks)

Engine displacement is the measure of the cylinder volume swept by all the pistons of a piston engine.  The piston moves inside the cylinder bore.  The cylinder bore in the form of a circular cylinder open at the top is to be made from a metal sheet of area 75π cm2 .

(a)  Show that the volume, V cm3, of the cylinder is given by                                              (4 marks)

where r cm is the radius of the cylinder and h cm is the height of the cylinder.

(b) Find .                           (1 mark)

(c) Find the radius of cylinder when its volume is maximum.  Hence, ind the maximum value. (5 marks)

Module 2 -Probability

Question 9 (5 marks)

A company produces motors for refrigerators.  There are two assembly lines, Line A and Line B. 5% of the motors assembled on Line A are faulty and 8% of the motors assembled on Line B  are faulty.  In one hour, 40 motors are produced from Line A and 50 motors are produced from Line B.  At the end of an hour, one motor is selected at random from all the motors that have been produced during that hour.

(a) What is the probability that the selected motor is faulty?                               (2 marks)

(b)  The selected motor is found to be faulty.  What is the probability that it was assembled on Line A?       (3 marks)

Question 10 (4 marks)

If A and B are two events such that P(A|B) = 2 × P(B|A) and P(B) + P(A) = 2/3 , then find the value of P(A) and P(B).

Question 11 (6 marks)

The Edwards Theater chain has studied its movie customers to determine how much money they spend on concessions. The study revealed that the spending distribution is approximately normally distributed with a mean of $ 4.11 and a standard deviation of $1.37.

(a) What percentage of customers will spend less than $3.00?                                 (3 marks)

(b) What spending amount corresponds to the top 87%?                                               (3 marks)

Question 12 (10 marks)

Mika is flipping a coin. The unbiased coin has a probability of 1/2 of landing on heads and 1/2 of landing on tails. Let X be the binomial random variable representing the number of times that the coin lands on heads. Mika flips the coin five times.

(a) Find P (X = 5).                                              (1 mark)

(b) Find P (X ≥ 2).                                             (3 marks)

(c) Find P (X ≥ 2jX < 5).                                             (4 marks)