Problem 1. An institution has just sold a European put option contract on 600,000 British pounds.  The strike price of the option is 1.26 and the time to maturity is 26 weeks.  The current exchange rate for pounds is $1.263 per pounds. The U.S. interest rate is 1.5%, and the U.K. interest rate is 2.5%. The volatility of the USD/Pound exchange rate is 16%. All the rates quoted are annualized and continuous compounding.

(a) What is the current value of the option contract according to the Black-Scholes-Merton formula?

(b) The Data A in the accompanying Excel file gives the USD/Pound exchange rate (price) at the end of the each week. Suppose you delta hedge the put option position by trading British pounds at the end of each week.  Calculate the hedging cost by constructing a trading sheet like the one below. The first two rows are given to help you get on the right track.

Trading Sheet for Data A

(c) What are the hedging cost and the performance ratio of the trading strategy for the exchange rates in Data A?

(d)  For the exchange rates in Data B in the accompanying Excel file, calculate the hedging cost and performance ratio by constructing a similar dynamic delta hedging strategy sheet.  What is the performance ratio of the hedging strategy for this set of exchange rates.

Problem 2. After structuring three over-the-counter derivatives contracts on Apple stock for clients, your bank ends up with a portfolio as displayed in the table below, where the delta and gamma are the Greeks for the long position of a contract or security for one share of Apple. The option listed in the last column is a security the bank can trade in the market along with Apple stock.

(a) What are the delta and gamma of this portfolio? If Apple stock price suddenly jumps up by fifty cents, what will be the gain or loss of the portfolio?

(b)  If Apple stock price suddenly drops by fifty cents, what will be the gain or loss of the portfolio?

(c)  If the bank worries that its gamma risk is too big, what position in the Out-Put will reduce the portfolio’s gamma risk by three quarters?

(d) What positions in Apple stock and Out-Put will neutralize the portfolio’s delta after re- ducing the portfolio’sgamma?

(e) After reducing gamma and neutralizing delta, what will be the gain or loss of the portfolio if Apple stock price suddenly moves up or down by fifty cents?

Problem 3. The Black-Scholes-Merton rule is usually called the Black-Scholes equation in fi- nance. The equation has a concrete interpretation that is often used by practitioners. The rule was originally derived as a mathematical equation governing the price evolution of a Euro- pean call or European put under the Black-Scholes model.  However, the same equation can be derived for a variety of options, or more generally, derivative securities.  The key financial insight behind the equation is that one can perfectly hedge the derivative security by buying and selling the underlying asset in just the right way and consequently “eliminate risk”.

The application of the rule is based on the following interpretation. Over a very very short period of time dt, the riskless return on the delta-hedged portfolio that consists of a long

position in Δ units of the underlying asset and a short position in the derivative is Return from the delta-hedged portfolio = [yΔS - 0.5Γ σ2S2 - Θ ]dt .

The total value of the delta-hedged portfolio is ΔS - V . If you let the same amount of money to earn the risk-free interest from a bank account, instead of holding the delta-hedged portfolio, your return should be

Return as interests from the bank account = r (ΔS - V )dt .

If the above two returns are not equal, one can arbitrage by taking a long position for the higher return and a short position for the lower return. If there is no arbitrage, the two returns must be equal. Equating the above two returns leads to the Black-Scholes equation:

(r - y )ΔS + 0.5Γ σ2S2 + Θ = rV .

which we discussed in class as the Black-Scholes-Merton rule.

The above trading strategy implies that there is only one no-arbitrage price for the derivative security. If the derivative security is a call or put option, the no-arbitrage price is given by the Black-Scholes-Merton formula. If the derivative security is a forward contract, you may wonder whether the no-arbitrage price is given by the formula of forward value we derived in class.

We have learned that the current value of a forward contract is V = S -Ke-r (T-t )) , where S is the current spot price of a financial asset that pays no yield (y = 0), K is the fixed delivery price in the contract, and T is the time to maturity. We have also learned that the delta of a forward contract is Δ = 1. Since the delta of such forward is independent of the spot price, the gamma of the forward is Γ = 0. However, the forward price depends on the time to maturity, so its theta is Θ = -rKe-r (T-t )  (some geek who knows calculus gives us this formula of theta). If a bank buys and sells the forward contract at the value V as calculated in the above formula, is there a way to trade (in any way you like) the forward, the underlying financial asset, and the risk-free bond to generate arbitrage profit? Justify your answer.