Due on Friday, Nov 10th before 11:59 p.m.  PST, submit through Gradescope.  Make sure to select the appropriate questions for your answers to receive credit and include all your work/code for full credit.

Exercise 1 (Lipschitz continuity)

1.  (2  points) X  and  Y  are subsets of Rn   and  Rm   respectively  and f  :  X  →  Y  and g : Y → Rp  are two Lipschitz continuous functions.  Is the composition of g and f, i.e., g 。f, Lipschitz continuos? Prove it or give a counterexample.

2.  (2 points) Let f : Rn  → Rm  and g : Rn  → Rm  be two functions that are Lipschitz con- tinuous. Is the function f + g Lipschitz continous?  Prove it or give a counterexample.

Exercise 2 (Solution to a MDE) Let A1 (t), A2 (t), and F(t), be known piecewise con- tinuous n × n matrices.  Let Φi  be the transition matrix associated to ˙(x) = Ai (t)x for i = 1, 2 (which comes from the respective matrix differential equation (MDE) seen in lecture).  Show that the solution of the following matrix differential equation (with X(t) an n × n matrix):

is

Exercise 3 (State transition matrix properties) Derive an expression for

where Φ(t,τ) is the state transition matrix of ˙(x) = A(t)x.  Hint:  Here τ is a variable that represents the classical t0 .

Exercise 4 (State transition matrices and dynamics)

Find a matrix A(t) such that

is the state transition matrix of ˙(x) = A(t)x

Exercise 5 (Discrete dynamical system) Derive the state transition function for the discrete time dynamical system x[k + 1] = ax[k] with initial condition x[0] = x0  and read out map y[k] = x[k].  Assume a is a parameter in R and x[i] e R.  Prove or disprove if the dynamical system is linear.

Exercise 6 (Perturbed dynamical system) A given dynamical system can be modeled as follows

Assume this dynamical system has a solution and it is unique.  In presence of a perturbation, this dynamical system can be modeled as

It is known that for t e [t0 , t0  + T],  ||f(t)||  三 ϵ1   and  ||δx0 ||  三 ϵ0 ,  determine  a bound on ||x(t) - w(t)|| for t e [t0 , t0 + T].

Exercise 7 (Lipschitz continuity and linearization) Consider the inverted pendulum equation with normalized input torque:

where x1  is the angle that the pendulum makes with the vertical, x2  is the angular rate of change, l is the length of the pendulum, and u is a normalized torque input signal.

(a) What is the most you can say about the existence and uniqueness of a solution to this equation, given a fixed input signal u.

(b) Determine the linearized model for the perturbation dynamics about the condition in which the pendulum is pointing straight up with zero velocity.