propagation (θm), during the whole period of measurements (2013-19).  The first two rows of the spreadsheet indicate the intervals in Hs chosen and the first column indicates the intervals in θm  chosen.  The  number in each cell is the number of sea states on record that fall into the bin specified by the considered interval in Hs and in θm.  Note that while intervals in θm  are uniform

(every 10 degrees), the intervals in Hs  are not.  The reason for that is explained in class.

3 Coursework tasks

Coursework tasks are here listed. The marks assigned to each task are indicated in square brackets.

.  For the measured sea state provided in the file Time series.xlsx compute Hs, and the mean period Tz, using both the zero up-crossing analysis and the spectral analysis (the spectral density of energy is provided in the file Energy density spectrum.xlsx) .  Discuss the differences for the results of Hs, and Tz  obtained with the two methods.  Also, compute the power per unit

wave front Pref  for the sea state under study.  [15/100]

.  For thesea state provided in the file Time series.xls, assuming that individual waves follow the Rayleigh distribution, compute Hrms  and the wave height that has probability of not being exceeded equal to 0.93.  Plot the Rayleigh cumulative distribution curve and identify on the graph

Hs  and H1/10.  [15/100]

.  Compute the probability of occurrence of sea states as a function of Hs  and θm, using the intervals of Hs  and θm  used in the provided table (see Table sea states poole.xlsx) .  Describe the wave climate  in  Poole  Bay  by  identifying  the  sectors  of  propagation  of the  waves and  by computing the omni-directional cumulative probability for the sea states.  Identify the Hs  that is not exceeded by either the 98% or 99% (as you prefer) of the sea states on record (this is the

value will be used as threshold for the Peak Over Threshold, POT, analysis).  [20/100]

.  Compute, using the POT method, the values of Hs  with return period of 1, 5 and 60 years using the Gumbel distribution.  Discuss the results, with focus on the fit of the data to the theoretical distribution.  [25/100]

.  Summarise the  results  and the  methodology followed  in a  report of no  more than  2000 words

(excluding figure captions, formulas, and references).  [10/100]

.  Optional:  compute, using the POT method and another extreme value distribution (for example the Weibull distribution explained in this document), the values of Hs  with return period of 10, 50

and 100 years.  Compare the results with those obtained using the Gumbel distribution.  [15/100]

4 Further extreme value distributions.

The Gumbel distribution is part of a family of three extreme value distributions commonly used in engineering.  The other two are the  Fr´echet and the Weibull distribution.  Usually, for a given series of extreme values, the  parameters of  more than one distribution are computed and the fit to the distributions is compared to select the best fitting one.  Alternatively, the  Generalised Extreme Value (GEV) distribution can be used; this distribution combines all three aforementioned

distributions (see Coles, 2001 Section 3.1.3).

Here the Weibull cumulative distribution is examined. This is written as:

(1)

λ ≥ 0 being the location parameter, and β > 0 being the shape parameter.  These two parameters need to be computed using the Method of Moments (MoM), however this is not as simple as in the case of the Gumbel distribution.  The mean and the variance of the distribution, assumed to

be equal to the samples ones, are:

(2)

and:

(3)

Where Γ  is the gamma function  (Excel  and  MATLAB  both  compute gamma function with  a

built-in function).  The coefficient of variation V , i.e.  the  ratio of the standard deviation (s) to

the mean (Hs) of Hs, i.e.  V = s/Hs, is:

(4)

If Hs  and s are known the values of the parameters λ and β can be determined by solving Eq.

(4) with β as the unknown, using numerical iteration.  Then  λ can be estimated using Eq.  (2),

i.e.:

(5)

As done for the Gumbel distribution it is convenient to plot the distribution on a probability chart, i.e.  a system of coordinates in which the distribution appears as a straight line.  For the Weibull

distribution:

(6)

where:

(7)

and

(8)

The test-fit to the distribution is done as for the Gumbel distribution, i.e.  following Step 3 with the values for y and x computed for the samples.  The Frechet distribution has also two parameters and can be determined as well the MoM. The reader is referred to Kottegoda and Rosso (2008)

(Section 7.2.2 to 7.2.4), available at the Green’s library, for the relationships.

5 Tips for the coursework

Submission

Submission deadline is November 10th 2022 at 15:00 on MOODLE only.  Note that you will have to submit the report in a single pdf file and confirm the submission, otherwise it will stay

as a draft.

Handling the large data file to find storms over threshold

In order to find the peaks of the storms over the Hs  threshold from the file provided you have to identify these storms in the data and then select the peak Hs  for each storm.  There  are  many ways to do that;  here I will give you some tips for working in Excel.  The first option to select maxima is to filter data using the ”Filter Data” function in Excel (see Fig. 3), you want to retain

data for which Hs  is larger than the threshold value and smaller than 9999.

Figure 3:  Excel ”Filter Data” options to select the storms with Hs  larger than the threshold.

Once you assign this filter only the rows that satisfy the two conditions will appear.  If you prefer to retain all the rows, one quick way to visualise Hs  over threshold is to use conditional formatting by highlighting in, for example, red the cells with values of Hs  exceeding the threshold (see  Fig.

4).  Pay attention to the missing data code (9999), it is suggested to replace these values with

blank cells so the code cannot interfere with highlighting cells and plots.  To do so you can  use the function find and replace in Excel (CTRL+F) (see Fig. 5).

Figure 4: Excel ”Conditional Formatting” options to highlight the cells with Hs  larger than the threshold.

Figure 5:  Example find and replace function to remove 9999 codes.

Selecting peaks using the POT method

When selecting peaks keep in mind the restrictive conditions that have been introduced in the notes and in the worked example.  If you have any doubt about retaining or removing data, make a decision based on the information in the notes. Take a consistent approach and, above all, justify

your choices in the report.

Structure of the report

Technical and scientific reports have a pretty standard structure, which you should follow in this coursework. Start with an Introduction section to explain the background and objectives of your analysis: which location are you studying? Which data?  What are the parameters that you have to compute? The introduction does not need to be long, but it should give an idea of the background of your study in few sentences. The next section is the Methodology.  For each of the objectives in the brief show how you compute the required parameters, introduce the equations and variables involved.  Label each equation and introduce each variable used.  Next is the Results, or Results and discussion, section. This shows the results and discusses it (Discussion can be a separate or joined section).  Finally a Conclusion section rounds up the document.  Although here this section is not very important, pay attention to avoid to use it as a summary. This section should answer to the questions:  have you achieved your objectives and to which extent?  Are there  limitations in your work, which ones? What needs to be done next?