MTH6154 Financial Mathematics I Coursework 3

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MTH6154 Financial Mathematics I

Coursework 3

This coursework is not to be turned in. Try it yourself and ask questions during the tutorial.

Give all answers to 3 significant figures (e.g. 2.54 not 2.53782 and 0.0342% not 0.034239%).

A) Warm-up exercises

Exercise 1.

(a)  Explain briefly what is meant by:  (i) an arbitrage opportunity; (ii) the law of one price.

(b)  Under what conditions  might you expect the no-arbitrage assumption to be valid in a given market?

Exercise 2. Suppose that the no-arbitrage price of 1,000 zero-coupon bonds each with maturity 1 year is £931 and that the no-arbitrage price of 1,000 zero-coupon bonds each with maturity 3 is £785. Calculate:

(a)  The spot rates s1  and s3 .                (b) The 2-year forward rate f1,3 .

Exercise 3. Interest rates over the next four years are fixed at either 4% per annum with probability 0.2, 5% per annum with probability 0.6 or 6% per annum with probability 0.2.  What is the mean and standard deviation of the present value of a payment of ↔25,000 in four years’ time?

Exercise 4.  Explain briefly what is meant by

(a)  A forward contract.         (b) A European call option.          (c) An American put option.

Exercise 5.  Plot the payoff function (in terms of the share price at expiry S(T)) of

(a)  A European call option with strike £40.     (b) A European put option with strike £100.

B) Assignment questions

Exercise 6. Suppose that a broker quotes the price of unit zero-coupon bonds, with maturity times of (0.5, 1.0, 1.5, 2.0) years, to be respectively

(0.95, 0.92, 0.86, 0.84).

Calculate the no-arbitrage price of a 2-year bond with face-value £500,000, semi-annual coupons at rate 4% per annum, and no redemption payment.

Exercise  7.  Suppose  you deposit  £100  in  a  bank  account for  10  years.  You  model the annual interest rates Ri  (applying from t = i to t = i + 1) as an i.i.d. sequence of random variables such that 1 + Ri  ∼ LogNormal(0.057, 0.0008).

(a)  Give one advantage and one disadvantage of using an i.i.d. sequence to model interest rates.

(b)  Calculate the mean of the accumulated value after 10 years. [Hint:  You may use the fact that if X ∼ LogNormal(µ,σ2 ) then E[X] = e

(c)  Find the probability that the accumulated value will be greater than 110% of its mean.  [Hint: You may use the value Φ(1.110) = 0.867 for the standard normal cdf.]

Exercise 8.  Suppose bank A offers a monthly compounded interest rate rA  and bank  B offers a daily compounded interest rate of rB . Show that if

rB  > 365((1 + rA )12/365 − 1)                                            (1)

then there is an arbitrage opportunity.  [Hint:  Rewrite (1) in terms of the quantity  (1 + 3615rB )365 .]

C) Additional questions

Exercise 9. A bond is said to be ex coupon if it is sold under the proviso that the investor will not be paid the next coupon from the bond.  Suppose an investor purchases an ex-coupon bond with face value of ↔100, redeemable at par, which pays semi-annual coupons at a rate of 8% per annum. There are 8 days until the next coupon (which will not be paid) and the bond expires 7 years after this coupon.  If the bond yield is 6%, calculate the purchase price of the bond.

Exercise 10. Show that if a bank offers a FRA (for both loans and deposits) between times n1  and n2  at a forward rate f satisfying

(1 + f)n2 −n1   < 1(1)  sn1(sn2)n(n)1(2)

then there is an arbitrage opportunity.

Exercise  11.  Suppose that  in the fixed  interest  rate  model the interest  rate has the continuous distribution R ∼ Uniform(2%, 4%). Determine

(a)  The expected accumulated value of a deposit of ↔100 after 6 years.

(b)  The accumulated value of a (hypothetical) deposit with interest rate fixed at the mean E(R).

(c)  Is your answer to part (b) smaller than your answer to part (a)?  Explain this.

Exercise 12. Suppose that interest rates Rn  are an i.i.d. sequence with mean µ and variance σ 2 . Let An  be the accumulated value at time n of repeated deposits of £P in a bank account made at times 0, 1,..., n − 1.  Recall that in lectures we proved the recurrences

An  = (An − 1 + P)(1 + Rn − 1 )    ⇒  E(An ) = (E(An − 1 ) + P)(1 + µ) .              (2)

(a)  Let ρ > 1 and c > 0.  Show that xn  =  (ρn  − 1) satisfies the recurrence

xn  = ρ(xn − 1 + c) ,    x0  = 0 ,    n ≥ 1.

Deduce a closed-form expression for E(An ).

(b)  By squaring the recurrence for An  in (2) and taking expectations, show that

E(An(2)) =((E(An − 1 ) + P)2 + Var(An − 1 ))((1 + µ)2 + σ2 ) .

[Hint: Use the fact that Rn − 1 and An − 1 are independent and that E(X2 ) = Var(X)+E(X)2 .]

(c)  Deduce that

Var(An ) = (E(An − 1 ) + P)2 σ 2 + Var(An − 1 ) ((1 + µ)2 + σ2 ) .

[Hint: Use the fact that Var(X) = E(X2 ) − E(X)2  and the recurrence for E(An ) in (2).]


2023-11-05