Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Assignment #1, Econ 482 Fall, 2023

Due on Thursday, Nov. 2 (before class starts)

1. Suppose X is a random variable.  Provide deinitions of its expected value and variance.

2. Suppose we are interested in estimating the population mean  (μ) of the heights of all the UW students based on a sample that consists of 10 observations.  (We are going to pick 10 students randomly.)

a)  Deine 10 random variables associated with the above research. Explain the diference between the random variables and data.

b) The best estimator of the population mean is the sample mean, given by:  Y(-)  =

Σi(1)1 Yi. Is Y(-) a random variable? In what sense?

3. Suppose that we have two random variables, X1  and X2 .

a) Provide mathematical deinitions of the covariance and the correlation. What is the diference between the covariance and the correlation?

b) By using the deinitions of the variance and the covariance, prove that var(aX1 +bX2 ) is a function of the variances of X1  and X2  and the covariance between them.  Here, a and b are constants.

4. Consider the following model

Population Equation :   Yi  = μ + ei ,   i = 1, 2, ..., n                          (A)

Assumption #1 :   E[ei] = 0,  for all  i

Assumption #2 :   E[ei(2)] = σ2 ,  for all  i

Assumption #3 :   E[ei ej ] = 0,  for  i j

Assumption #4 :   ei    is  normally  distributed

A sample regression equation can be written as:

Yi  =ˆ(μ) +ˆ(e)i ,     i = 1, 2, ..., n                                             (B)

One way to derive ˆ(μ) (i.e., an estimator of μ) is the following (Ordinary Least Squares, or OLS):

MinimizeΣ ˆ(e)i(2) i - ˆ(μ))2

with respect to ˆ(μ) .

why we can derive ˆ(μ)

to 0.

By applying the OLS criterion, we can derive the following estimator of μ:

ˆ(μ) = Yi                                                                                         (C)

b) We know that E(ˆ(μ)) = μ (i.e.,ˆ(μ) in equation (C) is an unbiased estimator of μ). What does this mean?

c) We also know that var(ˆ(μ)) = .  This is a measure of uncertainty associated with

estimation of μ .   In  what  sense is this  a measure of uncertainty associated with estimation of μ?

5. Explain the χ2  distribution and the t-distribution.

6. Consider the following model:

Yi  = μ + ei ,   ei        i.i.d.N(0, σ2 )

a) We know that

ei(2) χ2 (n),

where ei  = Yi  - μ . Prove this.

b) We also know that

ˆ(e)i(2) χ2 (n - 1),

where ei  = Yi - ˆ(μ).  Provide an intuition on why the degree of freedom isn - 1 instead of n.

7.

a)  Suppose that the heights of UW students are normally distributed with known population variance (σ2  = 9).  Based on 16 observations, the population mean is estimated to be 175 (i.e., ˆ(μ) = 175) and the population variance is estimated to be 9 (i.e., ˆ(σ)2  = 9). Derive a 95% conidence interval for the population mean (μ).

b)  Suppose that the heights of UW students are normally distributed with unknown population variance. Based on 16 observations, the population mean is estimated to be  175  (i.e.,  ˆ(μ)  =  175)  and the  population variance is estimated to be 9  (i.e., ˆ(σ)2  = 9). Derive a 95% conidence interval for the population mean (μ).

c) The 95% conidence interval from Question b) is wider than that from Question a). Provide an intuition about why this is the case.