1.    Perturbation theory: three level system

This question is adapted from Griffith’s Introduction to Quantum Mechanics.

Consider a quantum system with just three linearly independent states.   Suppose  the Hamiltonian, in the matrix form, is

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where V0  is a real, positive constant, and E is some small positive number (E ≪ 1).  We suppose that the part of the matrix arising from E is a perturbation.

(a) Write down the eigenvectors and eigenvalues of the unperturbed Hamiltonian (E = 0).

(b) Solve for the exact eigenvalues of H.  Expand each of them as a power series in E up to second order.

(c) Use first- and second-order non-degenerate perturbation theory to find the approx- imate eigenvalue for the state that grows out of the non-degenerate eigenvector of H0 . Compare your results with those in part (b).

(d) Use degenerate perturbation theory to find the first-order correction to the two ini- tially degenerate eigenvalues. Compare your results with those in part (b).

(e) Find, using perturbation theory (refer to the Appendix below), the second-order cor- rections to the two initially degenerate eigenvalues. You are required to show your working clearly. Compare your results with those in part (b).