ECON 2050 SEMESTER 2 2023 Quiz 2

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON 2050

SEMESTER 2 2023

Quiz 2

Due on Blackboard on Friday 27 October 2023 at 16:00

Question 1 (15 marks)

Prove that S = {(x, y) 2 R2  : 2x2 — y     3 }is a convex set by directly verifying that

S satisfies the definition of a convex set.

Question 2 (15 marks)

Let D be a convex subset of Rn. If f  : D ! R is a concave function and k  2 R, then the upper contour set S  =  fx  2  D  :  f(x)  ≥  kg is a convex  set.   Using this theorem, show that if a  2  [ — 1, 1]  and  b  2  R,  then the following  set  M, is convex. M = f(x,y, z) 2 (0, 2) 根 R2  : ln x — 2y2  — axy ≥ 0, x + by + z     0g

Question 3 (15 marks)

Consider the function f  : R2  ! R, (x, y) |!  — 6x4  — 2  + 6xy. Find all critical points off and classify each critical point as A) a local maximum, B) a local minimum or C) a saddle point. Show each of your steps.

Question 4 (20 marks)

For all possible values of a and c, solve the constrained maximization problem

max    2xy + 2z    s.t.   x2 + y2  = 8, 2ax + 2ay + 2z = 2c

(x,y,z)=R3

using the Lagrange approach. You may assume that the constraint set is compact without proof. Explain each of your steps.

Question 5 (20 marks)

Consider the following maximization problem:

max   — (x + 1)2  — (y — 4)2           s.t.    x + (y — 3)3        0, y ≥ 2x2 , x ≥ 0, y ≥ 0

(x;g)=R2

You may use without proof the fact that this problem has a solution.

(a)  Determine and explain whether any points of the constraint  set violate the non- degenerate constraint qualification of the Kuhn-Tucker theorem.              (7 marks)

(b)  Solve this problem by applying the Kuhn-Tucker theorem.                        (13 marks)

Question 6 (15 marks)

Consider the following maximization problem:

max   —x2  — y2           s.t.    — x — y     —4,    y + 2x     5

(x;g)=R2

(a)  Can you apply the Extreme Value Theorem to conclude that this problem does have a solution? Explain why or why not.                            (2 marks)

(b)  Is the objective function convex and/or concave? Prove your answer.           (2 marks)

(c)  Is the constraint set convex? You do not need to prove your answer.              (1 mark)

(d)  Solve this problem by applying the Kuhn-Tucker theorem. Carefully explain each of your steps.  You may use without proof the fact that all points of the constraint set satisfy the non-degenerate constraint qualification.                           (8 marks)

(e) Without solving any other maximization problem, estimate whether the function f  : R2  ! R, (x, y) '!  — x2  — y2. attains a higher value in the set C1  = f(x, y) 2 R2  : —x — y     —3, y +2x     5g or in the set C2  = f(x, y) 2 R2  : —x — y     —4, y +2x    6g.                                                                                                           (2 marks)


2023-10-30