Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

PROBLEM  SET  FOR  MATH  341  (LINEAR  ALGEBRA),  FALL  2023

Part 1 Bonus Redux

Due November 20, 2023 by 11:59pm

For each of the following problems, show all work and fully justify your answer/s.

One check+/check/check- can be earned for each of the numbered sub/questions (2, 3, 4). Up to two check+/check/check-’s can be earned for question 1.

(1)  Let T = TA : Rn  → Rn  be left-multiplication by ann-by-n matrix A.  Show that the following statements are all equivalent.

(i) T is injective.

(ii) T is surjective.

(iii)  The system A⃗x =0(⃗) has a unique solution  ⃗x =0(⃗) .

(iv)  The linear system A⃗x =0(⃗) has no free variables.

(v)  For any b(⃗) ∈ Rn , the linear system A⃗x =b(⃗) has a unique solution.

(2)  Let T  = TA : Rn   →  Rm   be left-multiplication by an m-by-n  matrix  A

(with no assumptions on m and n, other than they are finite).  Show that

the following statements are equivalent:

(i) T is injective.

(ii)  The system A⃗x =0(⃗) has a unique solution  ⃗x =0(⃗) .

(iii)  The linear system A⃗x =0(⃗) has no free variables.

(iv)  For any b(⃗) ∈ Rn , the linear system A⃗x =b(⃗) has at most one solution.   (3)  Let T  = TA : Rn   →  Rm   be left-multiplication by an m-by-n  matrix  A

(with no assumptions on m and n, other than they are finite).  Show that

the following statements are equivalent:

(i) T is surjective.

(ii)  For any b(⃗) ∈ Rn , the linear system A⃗x =b(⃗) has at least one solution. (4)  Let TA : Rn  → Rm  be left multiplication by an m-by-n matrix A.

(a)  Describe the kernel of TA  using the language of system of linear equa- tions.

(b)  Describe a spanning set for the image using the matrix A