Answer ALL questions.  Exam is closed book.  No electronic aids.  But, you are permitted two cheat sheets, two sides each sheet.  Any format for the cheat sheet is permitted.  Part marks are given. If you do not remember a particular MATLAB command or its syntax, use pseudo-code and state what syntax you are assuming.

You may answer on the exam sheet or in the provided blue book. But, if you use a blue book, please indicate on the exam paper. You must turn in the exam paper at the end of the exam. You may keep your cheat sheet.

Best of luck!

1.  Baseband equivalent flter.  Consider a communication system with three steps:

❼ A complex baseband signal u(t) is upconverted up(t) = Re(u(t)e2πifct) at fc  = 2.3 GHz.

❼ The signal up(t) is passed through a channel with magnitude response in Fig. 1to obtain yp(t).

❼ The received signal is downconverted, v(t) = 2yp(t)e-2πifct  and y(t) = hLPF (t) * v(t) where hLPF (t) is an ideal low-pass ilter.

jHp(f)j 2

A

B

f (GHz)

2.25   2.35

Figure 1: Passband magnitude response in linear scale. Drawing not to scale.

(a)  Draw the baseband equivalent channel magnitude response jH(f)j 2 = jY (f)j 2 /jU (f)j 2 .   (b)  Suppose that A = 3(10)-8 , B  = (10)-8  and the transmitted signal is u(t)  = Ce2πif0t

with f0   =  25 MHz.   If the transmit power is  20 dBm, what is the received complex baseband power? Your answer will have a logarithm in it. You do not need to evaluate the logarithm.

2.  Measuring the power. Suppose that x is a MATLAB vector of samples of a complex baseband signal x(t) at a sampling rate fsampMHz  =  200 MHz.  The commands,

fsampMHz  =  200;

fsamp  =  fsampMHz *1e6;

nfft  =  512;

[Px,  fx]  =  pwelch(x,hamming(nfft),[],[],fsamp, ' centered ' );

returns:

❼ fx: A vector of nfft frequencies uniformly from -fsamp/2 to fsamp/2 in Hz.

❼ Px:  A vector where Px(i) is the estimate of the PSD of x in mW/Hz (in linear scale) at frequency fx(i).

Write a few lines of MATLAB code to do the following:

(a) Estimate the total power in dBm of x(t).

(b) Find the ratio P0/P1  where P0  is the total power in the frequencies jfj      25 MHz and P1 is the total power in the frequencies f 2 [25, 75] MHz. The ratio should be expressed in dB.

3.  TX fltering.  Suppose that a complex baseband signal s[n] has a discrete PSD as shown in Fig. 2. The sample rate is 200 MHz. The signal bandwidth is jΩj     0.8π .

S s(Ω) [dBmJ/samp/rad]

-10

-40

-π                                   π

Ω (radians)

-0.8π                      0.8π

Figure 2: PSD of the discrete-time symbols s[n].  Only the PSD in the range jΩj     π is shown.

(a)  The signal s[n] is upsampled by a factor of two with zero insertion to create x[k].  Draw the discrete-time PSD of x[k].

(b)  The upsampled symbols x[n] are then iltered to create

u(t) =     x[k]p(t - kT),

k=-1

where 1/T = 400 MHz, the sampling rate after up-sampling.  Draw one possible ilter magnitude response jP (f)j 2  such that:

❼ jP (f)j 2  is lat in the main signal bandwidth.

❼ The peak PSD of Su(f) is -80 dBm/Hz.

❼ The peak PSD of Su(f) outside the signal bandwidth is -120 dBm/Hz.

4.  Efective  discrete-time  channel.   Consider a digital transmission and reception performed in the following steps:

u(t) =Σ s[n]ptx(t - nT),

y(t) = h chan(t) * u(t)

r[n] = v(nT),    v(t) = prx(t) * y(t)

Suppose the sample rate is 1/T = 100 MHz, prx(t) = ptx(t) = Rect 

a frequency response shown in Fig. 3.

Hchan(f)

A

B

f (MHz)

-40                                 40

Figure 3: Complex baseband channel response in linear scale. Drawing is not to scale.

(a) Write a mathematical equation for the efective discrete-time channel frequency response

H(Ω) =  .

(b) Approximately draw jH(Ω)j .

5.  RX fltering  in MATLAB. Suppose that transmit samples x[n] and receive samples y[n] are related by,

y[n] =  h[k]r[n - k],    r[n] = v(nT),    v(t) =     g(t - nT)x[n],

k=0                                                                                       n=-1

for some continuous-time ilter g(t) and discrete-time ilter h[n]. Let

F (Ω) =  ,

be the discrete-time channel frequency response between x[n] and y[n].   Write  MATLAB code to compute the complex frequency response F (Ω) for npts  =   128 points uniformly in Ω 2 [-π, π].

You may assume you have the following MATLAB objects:

❼ Scalar T:  The sampling period in seconds.

❼ Vector h: Vector of the ilter taps of h[n];

❼ Function G  =  Gresp(f): A function that returns the complex frequency response G(f) at a vector of frequencies f. The input f is in Hz.

❼ Function  [H,w]  =  freqz(h,1,npts), a function that returns a vector H of complex fre- quency response at frequencies w of a discrete time ilter with taps h at npts frequencies uniformly in Ω 2 [-π, π].

6.  Signal  spaces.  Suppose that T > 0 is a ixed constant and S is a signal sets with signals of the form,

s(t) = (1 + a1 e2πit/T )(1 + a2 e2πi(2)t/T ),    t 2 [0, T],

for a1 , a2  2 C.

(a) Find a basis with of a vector space with minimum dimension containing S. That is, ind functions φ1 (t), . . . , φN (t) such that every signal s(t) 2 S can be written as

s(t) =  sjφj(t),

for some coe伍cients sj  2 C.

(b)  Suppose that (a1 , a2 ) = (2, 3 + 4i). What are the coe伍cients (s1 , . . . , sN ) in the basis in part (a)?

7.  Degrees  of freedom. A wireless system transmits on a channel from 1.79 to 1.81 GHz.  Due to overhead, the system can use up to 80% of the degrees of freedom.

(a) What are the number of (complex) degrees of freedom per second after accounting for overhead?

(b)  The received power spectral density is -100 dBm/Hz.  What is the energy per complex degree of freedom in dBmJ? Your answer will have a logarithm.  You do not need to evaluate the logarithm.

Figure 4: Sampling Relations.

Figure 5: Units in sampling.