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Assignment 3

MAT 4179-5192

Fall 2023

To hand-in on

October 4, 2023 on Brightspace before midnight

(pdf format only)

Problem 1

Exercise no.  1 page 66 in Lohr (2022, Chapter 2, Section 2.13).

Problem 2

Show that Expression (4.9) in the course notes reduces to Expression (4.10) in the case

of simple random sampling without replacement.

Hint: Don’t forget to separate the case i = j from the case i j.

Problem 3

Consider a population U of size N.  From U, we select a sample, S, of size n, according to a sampling design with first-order inclusion probabilities πi  and second-order inclusion probabilities πij , i j. For which finite population parameter is the following estimator unbiased?

Simplify your answer and you will obtain a familiar parameter.

where CV(y) = Sy /yU  denotes the coefficient of variation of the survey variable y.

Problem 5

(FOR GRADUATE STUDENTS ONLY) Consider a population U of size N. We consider a sampling design that leads to N + 1 samples:  N samples are of size 1, where each sample contains one of the possible N elements; one sample is of size N, containing all the population elements. Each of the N + 1 possibles is given an equal probability of

selection. Note that this is a random-size sampling design.

(a)  Determine the first-order and the second-order inclusion probabilities for this sam-pling design.

(b)  Determine the expected sample size.

(c)  Determine the variance of the sample size.

(d) As an estimator of the population total, ty   =Σk=U yk , we consider the following estimator:

where ns  denotes the realized sample size. Show that ty  is unbiased for ty .

Hint: For (d), you may want to use the law of total expectations.