MAT 4379-5192 Assignment 2 Fall 2023

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Assignment 2

MAT 4379-5192

Fall 2023

To hand-in on

September 27, 2023 on Brightspace before midnight

(pdf format only)

Problem 1

Consider a finite population U of size N = 5. We consider the following sampling design:

s

{1, 2}

{3,4}

{3, 5}

{4, 5}

p(s)

1/2

1/6

1/6

1/6

Table 1: The sampling design

(i) Determine the first-order inclusion probabilities.

(ii)  Determine the second-order inclusion probabilities.

(iii)  Does this sampling design correspond to simple random sampling without replace-

ment? Systematic sampling? Bernoulli sampling? Justify your answers.

Problem 2

Let S be a sample selected by a Bernoulli design with probability π .   Let  ns   be the

random size of S. Show that

P(S = s | ns  = n0 ) =  .

That is, the conditional probability of S given ns  is the same as the probability of a

simple random sample without replacement of the fixed size n0  from N.

Problem 3

Show the following properties for a fixed-size sampling design:

(i) πij  = (n − 1)πi ,  for all i ∈ U;

Hint: Use the fact that Zi Zj  = (n − 1)Zi.

(ii)   πij  = n(n − 1);

(iii)  ∆ij  = 0,  for all i ∈ U,  and   ∆ij  = 0,  for all j ∈ U, where ∆ij  = πij  − πi πj .

Problem 4 (For graduate students only)

Let U be a population of size N. From U, we first select a simple random sample without replacement, S1 , of size n1 .   Then, from S1 , we select a simple random sample without replacement,  S2 ,  of size n2 .   Show  that  S2   is  a  simple  random sample without replacement of size n2  selected from U.


2023-10-21