(1) Let k be a inite ield and let

Let  Let ω  be a homomorphism of k*   =  k 一 {0} into C* .

Consider the degree 1 representation ϕω  of H deined by

Use Mackey’s irreducibility criterion to show that the representation IndH(G) ϕω  of G induced by ϕω  is irreducible if and only if ω2    1.

(2) Let G be the group of permutations of {1, 2, 3, 4}.  Let A be the subset of G consisting of the trivial permutation and the three permutations  (12)(34) , (13)(24), (14)(23). Here (ij) denotes a transposition interchanging i,j.

(a) Show that A is a normal subgroup of G.

(b) Let H be the subgroup of G consisting of permutations which keep 4 ixed.  Show that G is a semidirect product of A and H.

(c) Using the description of the irreducible representations of a semidirect product we discussed in class, determine the degrees of irreducible representations of G over C, and construct an irreducible representation that is isomorphic to the standard representation V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4  | x1 + x2 + x3 + x4  = 0} of G.

(3) Let Fq  be a initeield with q elements, where q = pn  for some prime p.  Let G be the group of transformations,

Fq  → Fq  : x →7 ax + b, a ∈ Fq(*),  b ∈ Fq .

Find all irreducible representations of G over C, and compute their characters.