1.  The heat  equation describes the diffusion of heat.  Modeling an infinite straight rod by a line along the x-axis, we denote the temperature of the rod at time t ≥ 0 at x ∈ R by u(x,t).  If u0 (x) is the temperature at t = 0, the function u satisfies the heat equation,

where D > 0 is the diffusion constant.  Consider now the cable equation,

Assuming that v(x,t) satisfies the cable equation, define the function u by

u(x,t) = µ(t)v(x,t),                                             (1)

where µ(t) > 0 is some function satisfying µ(0) = 1.  Find a function µ(t) such that the new function u defined above satisfies the heat equation. What is D in this case in terms of τ and λ?  (Hint:  Plug in the definition  (1) in the heat equation and use the fact that v satisfies the cable equation.  This leads to a condition giving D and another giving µ.)

2.  Prove that the function

satisfies the heat equation simply by plugging it in.  The function K is known as the heat kernel.  By the previous problem, you therefore get a solution of the cable equation of the form

                         (2)

How does the solution behave for large t?

3.  The solution V defined in (2) corresponds to an initial value that is not a classical function, but a generalized function known as Dirac’s delta,

                       (3)

which is formally defined as an object that has the property

for all continuous functions φ .  Heuristically, Dirac’s delta represents a point mass accumulated at a single point x = 0. As an initial value for the cable equation, you can think that we load a  “voltage spark” at time t = 0 at the origin, and then watch how the voltage propagates along the cable. To prove (3), proceed as follows: Let φ be a continuous function. For t > 0, write the integral

Now, make the change of variables in your integral, defining the new variable as