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Math 241

Worksheet 08

Week of October 9, 2023

1.  Estimate the double integral of f(x,y)  =“x2 + y2   over R  =  [0, 3] × [1, 5],  using  a  3 × 2  grid of subrectangles.  Use the upper-right vertices of the subrectangles as sample points.  Round your answer to three decimal places.

2.  Let R be the rectangle {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.  Compute llR xexy dA using Fubini’s Theorem. Hint: One way will be much easier than the other.

3.  An iterated integral over a rectangle [a,b] × [c,d] where the integrand can be factored as f(x,y) = g(x)h(y) can itself be factored as lab lcd f(x,y)dy dx =  (labg(x)dx)(lcd h(y)dy).  Verify this by evaluating l02 l03 xy2 dy dx twice: as an iterated integral, and as the product of two integrals.

4.  Evaluate the following integral by reversing the order of integration:

l01 l√1y “x3 + 1 dxdy.

(Hint: When you change to dy dx, be sure to also change the bounds of integration.)

5.  Let T be the trapezoid in the xy-plane with vertices (0, 0),  (4, 0),  (4, 2), and (2, 2).  Suppose f(x,y) is continuous on T.  Write llT f(x,y)dA as an iterated integral, or sum of iterated integrals, in each possible order (dy dx and dxdy).

Optional Lagrange multipliers practice (solutions on back):

6.  Find the point on the ellipse x2 + 6y2 + 2xy = 45 with the smallest y-coordinate.

7.  Consider the surface S given by z2  = x2  + y2 .

(a)  Sketch S.

(b)  Use Lagrange multipliers to find the points on S that are closest to (4, 2, 0).