1. A permutation matrix P is a matrix such that there is exactly one 1 in every row and every

colum and all other entries are zeros. Show that every permutation matrix is orthogonal.

Proof. Let ei  denote the vector where the ithentry is 1 and all other entries are zeros.  Then the permutation matrix P can be represented as

P = [ei1       ei2       ···   ein] .

To make P have exactly on e nonzero entry in every row and every column, P must be a square matrix, i.e., P e Rn 根n. Then

l e(e)」                                   l0(1)   1(0)   ···(···)   0(0)」

PT P =  '   i2  '  [ei1       ei2       ···   ein ] =  ' .(.)    .(.)            .(.) '  .

[el                                    [0(.)   0(.)   ···    1(.)l

So P is an orthogonal matrix.

2. Let Q e Rm 根n  be a matrix.  If〈Qx,Qy）=〈x,y）for all x,y e Rn , show that Q is isometric, i.e., show that QT Q = In.

Proof. 〈Qx,Qy）= (Qx)T (Qy) = xT QT Qy and〈x,y）= xTy.  If〈Qx,Qy）=〈x,y）for all x,y e Rn, then

xT QT Qx = xTy 今 xT (QT Q — In)y = 0,    Ax,y e Rn.

Simply choose x = ei, y = ej  for all i,j = 1, 2,...,n, we have every entry of (QT Q — In) equal zero, so QT Q — In  = 0.

3. Find a rotation matrix Q such that

Q [ 1(—)2(5)] =  [ —013] .

Solution. Let Q =  [ csin(os)θ(θ)   os(si)nθθ], we can solve from the linear system that cos θ = — 12/13 and sinθ = 5/13.  So Q =  [ —5(1)/(2)1(/)3(13)    —12/(5/1)13(2)].

4. Find real scalars c,s with c2 + s2 = 1 such that

'l0(1)   c(0)

[0   s

for all real scalars a,b e R.

0s」'  'l 12(a)」'      'l 13(a)」'

c l(0')  5 l(b ') =   0(b) l(') 

Solution. Note that

0(1)   c(0)

[0   s

   s''(」)  ''(l)''(」)  =  ''(l)12c  5s''(」)  .

0    c l[ 5 l     [12s + 5cl

We can solve from 12c − 5s = 13, 12s + 5c = 0 for.

c = 1(1)3(2),    s = − 13(5).

5. Let u ∈ Rn  be with ∥u∥2 = 1 and let Q = In  − 2uuT .  Show that

QT  = Q,    Q−1  = QT ,    Q−1  = Q,

Qu = −u,    Qx = x  ⇐⇒  ⟨u,x⟩ = 0.

Proof. Since ∥u∥2 = √uTu = 1, we have uTu = 1.  Then

()u(I)n= 0     = QT ,

6.  Show that if τ = ±∥x∥2  is chosen such that τ  and x1  have the same sign, show that every entry ui  of the vector

l  x2(1)    」            l−τ」

u := τ(x)x1(y) =  ' τ x1   '  ,    y =  '    '

[ τ x(n)1 l             [0(.) l

satisfies |ui|  ≤  1 and show that 1 ≤ ∥u∥2  ≤ 2.

Proof. When i = 1, ui  = 1. When i = 2,...,n,

|ui|  =  =  ≤   ≤ 1.

Since u1 = 1, it is clear that ∥u∥2  ≥ 1. Note that

^2∥x∥2(2) + 2              

=

∥x∥2 +

7. Find a reflector matrix Q such that

'l4(3)」'      τ」'

Q ' 1 '   =  '  0  '  .

[1l     [ 0 l

Solution.   Denote this linear system as Qx = y.   Since x1   >  0, we choose τ  =  IxI2   = ^32 + 42 + 1 + 32 + 1 = 6.  Then

l4(9)」

u =  x — y  = 1  ' 1 '  ,    γ = τ + x1  = 3

[1l

1    ——3(2)6(7)   8(3)6   ——4(9)   ——1(2)2(7)   ——4(9)

Q = I5  — γuuT  =      '  —9     —4      53     —3     — 1 '  .

54  ' —27   — 12   —3      45     —3 '

[ —9     —4    — 1    —3     53 l

8. Let A =  [ 13   2].  Find a reflector Q and an upper triangular R such that A = QR.

Solution.

τ = Ia1 I2 = ^10,    γ = ,    u =  l —  .

Q = I — 2uuT  =  l —^0      —  0(0)] , R = QA =  l^010     .

9. Find the least square solution to the overdetermined system

[(l)   1l(」) [x2(x1)] =  [(l)l(」) .

Solution.  Denote the above system as Ax = b.  Apply the Gram-Schmidt process to get a QR decomposition of A.

r11 = Ia1 I2 = ^22 + 32 + 62,    u1 =   a1     = 1  l3(2)」

Ia1 I2        7  [6l ,

1

7

(2 · ( — 1) + 3 · 9 + 6 · 4) = 7,

r22 = Ia2 — r12u1 I = " l 36」"  = ^32 + ( —6)2 + 22  = 7

u2 =

l 36」.

[ 2 l

So we have Q =   [(l)   6l(」) and R =  [0(7)   7(7)]. The least square solution can be computed by

x = R-1 QT b = 0(1)   1][3(2)

36   2(6)] [(l)l(」) = 103(6)] .