Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

IEOR 172

August 31, 2023

Homework 1

1. Use Venn diagrams to verify the following identities.

You can assume A, B are finite sets.

. A = (A ∩ B) ∪ (A − B)

.  |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

2. Answer the following questions.

(a) How many distinct permutations are there of the word “statistics”?

(b) How many distinct permutations of the word “statistics” begin and end with the letter “s”?

3. In how many ways may one A, three B’s, two C’s, and one F be distributed among seven students in a IEOR 172 class?

4. Suppose you are designing a Cal logo. You have a choice of 4 shapes (circle, square, triangle, and star), 5 colors (red, blue, green, yellow, and purple), and 3 patterns (solid, striped, and spotted). If each logo must consist of one shape, one color, and one pattern:

(a) How many different logos can be designed?

(b) If you want to choose two different logos without any repeat elements (i.e., the two logos cannot share the same shape, color, or pattern), how many ways can you choose the two logos?

5. You are organizing a committee for a class project.   The committee needs to be formed from a group of 12 students: 6 juniors and 6 seniors.  The committee needs 5 members with the following stipulations:

. At least 2 juniors must be in the committee.

. At most 3 seniors can be in the committee.

(a) How many ways can the committee be formed?

(b) If two specific juniors (Alice and Bob) refuse to work together, how many ways can the committee be formed adhering to the above stipulations?

6. (Optional) Show that

( n(α))（ k(n)) = ( k(α))( n(α)  k(k))

(Hint: Consider two cases n < k and n ≥ k)