1.  Compute the matrix power A5  for the matrix

Show all the computational results for A2, A3 , A4 .

2. Let A =  [a1     a2] be a m-by-2 matrix.  If X  =  [x21(x11)   x22(x12)], find an

explicit expression for the matrix product AX in terms of a1 , a2  and xij .

3. Find all matrices A ∈ R2×2  such that the matrix equation AX  = 0 has an invertible matrix solution X ∈ R2×2 .

4.  For A ∈ Rn×n , if the equation Ax = bhas a solution for every b ∈ Rn , show that A is invertible.

5.  Consider the following lower triangular system

Solve this system by column-oriented forward substitution.

6.  Decide the range for the value of t such that the following matrix is positive definite.

7. For A e Rn×n  and X e Rn ×m  , if A is positive definite and X has the rankm, show that the matrix product XTAX is also positive definite.

8. Let A =  [A21(A11)   A22(A12)] be a 2 × 2 block matrix, for submatrices A11  e

Rn1×n1 , A12  e Rn1×n2 , A21   e Rn2×n1 , A22   e Rn2×n2 .  If A is posi- tive definite, show that A11  is invertible and the matrix B  := A22  一   A21A11(-)1 A12  is also positive definite.

9. Let A =  [0 A22(A11 A12)] be a 2 × 2 block matrix, for submatrices A11  e

Rn1×n1 ,  A12   e  Rn1×n2 ,  A22   e  Rn2×n2 .   The  0  is  a  zero  matrix  of dimension n2  × n1 .  Suppose A11, A22  are invertible.  Show that A is invertible and A-1  is a 2 × 2 block matrix of the form

[0(X)11     X22(X12)] .

Express Xij  in terms of A11, A12 , A22 .

10.  Consider the linear system Ax = b, with

Find a unit lower triangular matrix L and an upper triangular matrix U such that A = LU. Find vectors x,y such that Ly = b and Ux = y.