Answer ALL questions.  Exam is closed book.  No electronic aids.  But, you are permitted two cheat sheets, two sides each sheet.  Any format for the cheat sheet is permitted.  part marks are given. If you do not remember a particular MATLAB command or its syntax, use pseudo-code and state what syntax you are assuming.

You may answer on the exam sheet or in the provided blue book. But, if you use a blue book, please indicate on the exam paper. You must turn in the exam paper at the end of the exam. You may keep your cheat sheet.

Best of luck!

1.  sgmbol  detection.   consider  a constellation with three complex points  s1  = O, s2  = A and s3  = iA. You receive r = sm  + 山, 山 … CN (O, N0 ).  Let  be the ML detected symbol from r.

(a)  Draw the decision regions for the three values,  = s1 , s2 , s3 , on the complex plane.

(b) Find the probability of error P (  s1 |s = s1 ).  write your answer as a two-dimensional integral. If you can solve the integral in terms of Q-functions, do so.  otherwise, at least, indicate the limits of the integral.

Figure 1：constellation points and decision regions for problem 1

2.  Detection simulation.  consider a channel,

Tj  = sjeiθj   + 山j,    山j  … CN (O, N0 ),

where sj  are Qpsk symbols with |sj| 2  = Es; θj   is a random phase error and 山j  is AWGN noise. Write a few lines of MATLAB code to：

.  Generate n = 1OOOO Qpsk symbols, sj .

.  Add phase errors θj  uniformly distributed in  [-O.2π, O.2π].

.  Add noise at an sNR of Es/N0  = 5 dB.

.  Demodulate the  Qpsk symbols.   Assume the demodulator does not know the phase error.

.  Measure the bit error rate.

.  Measure the symbol error rate.

Assume you are given the following MATLAB functions：

各  Random  n伪m备们r  g们n们ra大ors .

各  Each   毛伪nc大ion  g们n们ra大们s  an   (n ,m） ma大riX

X  =  randi([a,备],  n,  m）;     各  random  in大们g们rs  毛rom  a  大o  备  incl伪siv们

X  =  rand(n,  m）;                        各   伪ni毛orm  n伪m备们rs   毛rom  0  大o  1

X  =  randn(n,  m）;                   各  伪ni大  Ga伪ssians

各  QpSk  mod伪la大ion   and  d们mod伪la大ion .

各  Do  no大  ass伪m们  大h们s们  hav们  伪ni大  norm  o伪大p伪大s

s  =  qpskmod(备i大s）;

备i大s  =  qpskd们mod(r）;

3.  sgnchTonization  and  detection  we  wish to detect if a signal transmitted  (①  =  1)  or  not transmitted  (①  =  O).   we  obtain  M  independent  power  measurements  y  =  (g1 , . . . , gM ). Assume that  conditional on  ①  =  O, 1,  the  M  powers  measurements  are  independent  and exponentially distributed,

p(gi| ① = j) = λje-）jgi,    i = 1, . . . , M,

where λ0  持 λ 1 .

(a) Find the LLR, L(y) := ln p(p)y(y)从(从)0(1) .

(b)  consider the LLR detector that selects  = 1 when L(y) > t for some threshold t. Draw the decision region for ① = 1 for the case M = 2 on the (g1 , g2 ) plane. Label the axes.

(c) Find the probability of false alarm for the detector in part (b).  Your answer will have a double integral. You do not need to solve it, but clearly indicate the limits of the integral.

Figure 2: Decision region for ① = O in problem 3

4.  OFDM  numeTologg   consider an OFDM system with Nsc   =  4OO occupied subcarriers and sub-carrier spacing Δf = 2O KHz.

(a) If the FFT is must be a power of 2, what is the smallest FFT size, NF FT？ (b) what is the sample rate with the FFT size in part (a)？

(c) what is the occupied signal bandwidth of the discTete-time  signal after the OFDM modu- lation？ Note that the discrete-time occupied bandwidth is a subset of the interval [ -π, π].

5.  OFDM Channel  equalization.  suppose that the received symbols on subcarrier n are given by,

T [n] = h[n]① [n] + 山 [n],    山[n] … CN(o, No ),     | ① [n]| 2 = E① .

where h[n] is the complex channel gain; ① [n] is the transmitted symbol and 山 [n] is i.i.d. noise.

(a)  suppose the baseband equivalent channel response has two taps,  h(t) = A1δ(t - T1) + A2δ(t - T2).  what is the  OFDM channel response  h[n]？ your answer may depend on the OFDM parameters such as sub-carrier spacing or OFDM symbol period.  Make any reasonable assumptions.

(b)  suppose you take the estimate,

6.  LineaT  Codes. consider a linear code,

c1  = b1 ,    c2  = b2 ,     c3  = b1  + b2 .

For each coded bit ci, you get a value

where Ni  is a noise power that varies with the symbol index i.