1.  Baseband  equiualentflteT.  consider a communication system with three steps:

. A complex baseband signal u(t) is upconverted up(t) = Re(u(t)e2πifct) at fc  = 2.3 GHz.

.  The signal up(t) is passed through a channel with magnitude response in Fig. 1to obtain gp(t).

.  The received signal is downconverted, U (t) = 2gp(t)e-2πifct  and g(t) = hLPF (t) * U (t) where hLPF (t) is an ideal low-pass ilter.

Figure 1: passband magnitude response in linear scale. Drawing not to scale.

(a)  Draw the baseband equivalent channel magnitude response |H(f)| 2 = |y (f)| 2 /|u (f)| 2 .   (b) suppose that A = 3(1o)-8 , B  = (1o)-8  and the transmitted signal is u(t) = ce2πifot

with fo   =  25  MHz.   If the  transmit power is  2o dBm, what is the received complex baseband power？ Your answer will have a logarithm in it.  You do not need to evaluate the logarithm.

Figure 2: complex baseband magnitude response in linear scale. Drawing not to scale.

2.  MeasuTing the poweT. Suppose that x is a MATLAB Vector of samples of a complex baseband signal ① (t) at a sampling rate 毛专ampMHz  =  200 MHz. The commands,

fsampMHz  =  200;

fsamp  =  fsampMHz *1e6;

nfft  =  512;

[Px,  fx]  =  pwelch(x,hamming(nfft）,[],[],fsamp, ' cen大ered ' ）;

returns:

.  fx: A Vector of nfft frequencies uniformly from -fsamp/2 to fsamp/2 in Hz.

.  Px:  A Vector where Px(i）  is the estimate of the PSD of x in mw/Hz (in linear scale) at frequency fx(i） .

write a few lines of MATLAB code to do the following:

(a) Estimate the total power in dBm of ① (t).

(b)  Find the ratio p0/p1  where p0  is the total power in the frequencies |f |  参 25 MHz and p1 is the total power in the frequencies f E [25, 75] MHz.  The ratio should be expressed in dB.

3.  TX flteTing.  Suppose that a complex baseband signal s[n] has a discrete PSD as shown in Fig. 3. The sample rate is 2oo MHz. The signal bandwidth is |Ω| 三 o.8π .

Figure 3: PSD of the discrete-time symbols s[n].  only the PSD in the range |Ω| 三 π is shown.

(a)  The signal s[n] is upsampled by a factor of two with zero insertion to create ① [k].  Draw the discrete-time PSD of ① [k].

(b)  The upsampled symbols ① [n] are then iltered to create

where 1/T = 4oo MHz, the sampling rate after up-sampling.  Draw one possible ilter magnitude response |p (f)| 2  such that:

.  |p (f)| 2  is lat in the main signal bandwidth.

.  The peak PSD of Su(f) is -8o dBm/Hz.

.  The peak PSD of Su(f) outside signal bandwidth is -12o dBm/Hz.

4.  Efectiue  discTete-time  channel.   Consider a digital transmission and reception performed in the following steps：

u(t) =Σ s[n]pt从 (t - nT),

g(t) = h chan(t) * u(t)

T [n] = v(nT),    v(t) = prx(t) * g(t)

Suppose the sample rate is 1/T = 100 MHz, prx(t) = ptx(t) = Rect  a frequency response shown in Fig. 5.

(a) write a mathematical equation for the efective discrete-time channel frequency response

H(Ω) =  .

(b) Approximately draw |H(Ω)| .

Figure 4: Top panel:  PSD of the upsampled discrete-time symbols ① [k].  only the PSD in the range |Ω| < π is shown. Middle panel: PSD of the signal uδ(t) after an ideal ADC. Bottom panel:  Filter speciication |H(f)| 2 .

.  scalar T: The sampling period in seconds.

. vector h: vector of the ilter taps of h[n];

.  Function G  =   Gresp(f） : A function that returns the complex frequency response G(f) at a vector of frequencies f.  The input 毛 is in Hz.

.  Function [H,W]  =   freqz(h,1,np大s） , a function that returns a vector H of complex fre- quency response at frequencies W of a discrete time ilter with taps h at np大s frequencies uniformly in Ω E [-π, π].

6.  signal  spaces.  suppose that T 持 o is a ixed constant and 2 is a signal sets with signals of the form,

s(t) = (1 + a1 e2πit/T )(1 + a2 e2πi(2)t/T ),    t E [o, T],

for a1 , a2  E C.

(a)  (1o points) Find a basis with of a vector space with minimum dimension containing 2 .