The total score of this exam is 40 marks.  Attempt all  questions.  correct all numerical answers to 2 decimal places.

1.  [Total： 9  marks] Bob is the proud owner of the restaurant“Hungry Bob.”The only product Hungry Bob sells is Bob,s burger, which is priced at $10 each.  The number of Bob,s burgers sold on a day, denoted N , follows a normal distribution with mean 400 and standard deviation 50.

(a)  [3 marks] what is the probability that the daily revenue exceeds $5,000？

It is known that the total daily cost, denoted C, follows a normal distribution with mean $1,000 and standard deviation $300. The correlation between C and N is 0.8.

Let P denote the total daily proit.

(b)  [1 mark] Express P in terms of C and N.

(c)  [2 marks] compute E(P).

(d)  [3 marks] compute Var(P).

2.  [Total：16 marks] The government reported that the infection rate of cOVID-19 is 0.2. Let y  denote the number of people infected with cOVID-19 in a random sample of 5 individuals.

(a)  [3  marks] what  is the distribution of y？ Name the distribution and specify its parameter(s).

(b)  [3 marks] compute P (y > 1).

(c)  [4 marks] compute P (y > 2|y > 1).

(d)  [6  marks] simon wanted to test whether the true infection rate is higher than 0.2. He collected a random sample of 100 individuals.  It was found that  27 individuals were infected with cOVID-19.  carry out a hypothesis test for simon at the 5 percent signiicance level. show all your steps. A complete response should include:

i.  setting up the null and alternative hypotheses;

ii. deining an appropriate test statistic;

iii. stating the distribution of your test statistic under the null hypothesis; iv.  computing the test statistic based on the sampled data;

v.  making a decision using a correct method (e.g., critical value approach or p-value approach); and

vi.  drawing a conclusion.

3.  [Total：15 marks] carol is a trader for an investment bank in wall street.  she is studying the tick movement of a blue chip stock.  Let X denote the price change (in number of ticks). The probability density function of X is given below.

(a)  compute the following:

i.  [2 marks] E(X)

ii.  [2 marks] E(X2)

iii.  [2 marks] sd(X)

(b) Let S denote the sign of X, deined below