Week 1:  The Ancient Near East

W1.1.  Do the tasks listed below to analyze the following “proto-algebra” problem from an Old-Babylonian tablet: “I added four times the square-side to the square:  it equals 21. What is the square-side?”

a.  Express the Babylonian problem as a modern quadratic equation in the form ax2  + bx + c = 0 and solve for x using the modern quadratic formula.

b.  Fill  in  the  blanks for the numbers in the following standard Babylonian procedure for the problem solution:

You tear off half the multiplier, 4:  it is              .

You multiply              by itself:  it is              .

You add 21, the area, to              :  it is              .

You take the square-root of              :  it is              .

You take away              from              :  it is              , the square-side.

c.  Draw  a  sequence  of  diagrams  to  illustrate  the  above  solution  as  a  geometric  procedure  for “completing the square”. Label the appropriate sides and areas in the diagrams with their corresponding numerical values, as you find them in the solution process.

d.  Briefly  explain why the modern solution gives you two possible answers while the ancient procedure only gives one.

Week 2:  Beyond the Near East in the ancient world

W2.1.  For this problem we will explore  the  ancient  Egyptian  system  of unit  fractions, where an arbitrary fraction was represented as a sum of distinct fractions all with numerator 1.

It’s hypothesized that this system emerged from practical methods for rations allocation and similar.  So that, for example, if you have two loaves to divide among three workers, you start out by giving each worker the biggest possible uniformly divided amount, namely, one-half loaf.  Then you divide the leftover half loaf into three, and each worker has   ·  =    guaranteed fair (all equal pieces) and reasonably efficient (as few cuts as possible).

Consider the problem of fairly dividing ten loaves among three workers:

a.  Write two different sums of unit fractions that will solve the problem.  (And illustrate each on the corresponding “loaf diagram”.)

b.  Show how the same fractional amount would have been written by a Babylonian scribe and by a Hellenistic mathematician.   (You can consult the LEARN readings in Chrisomalis in Week 2 and/or Berggren (Ch.  2) in Week 4 for details of the Greek alphabetic numerals.)

Week 3:  Math of the ancient heavens:  circles, stars, predictions

W3.1.  Read Chapter 1 (pp. 1–18) in our guest lecturer Glen Van Brummelen’s Heavenly Mathematics (in the LEARN online readings for Week 3) and do Exercise 2 on p. 18.

Week 4:  The mathematical frameworks of medieval empires

W4.1.  Read pp. 121–126 in Chapter 4 of Berggren’s Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (in the LEARN site online readings for Week 4).

Do Exercise 4 on p. 153 of that chapter.

Week 5:  The rise of mathematics in early modern Europe

W5.1.  Read pp. 236–238 on “The rule of equation, commonly called Algebers Rule” in Recorde’s 16th-c.  Whetstone of Witte in the LEARN online readings for Week 5.  (Recorde’s symbolic notation is described on pp. 146–147.)

Briefly explain Recorde’s description of the difference between the rule of “false position” and what Recorde calls “darke position”.

Choose one of Recorde’s equations on p.  238 and solve it by the method of false position.   (Refer to the Thursday August 10 in-class worksheet on the LEARN site for a refresher if necessary.)

W5.2.  Read pp. 2–5 in Descartes’  Geometry in the LEARN online readings for Week 5.  (You can skip the archaic French text and just read the facing-page English translations!)

Explain, using geometry and algebra, Descartes’ procedure for representing the square-root of a given quantity as a line segment length (instead of having to represent it as the side of a square of given area, to conform to the principle of dimensional homogeneity).