1.  Consider the following linear programming problem:

(a)  solve the problem graphically.

(b)  solve the problem using the simplex method.

For both parts above, if there are multiple optimal solutions, give a complete characterisation of all solutions.

2.  Consider the following linear programming problem:

Solve the problem using the two-phase simplex method. If there are multiple optimal solutions, give a complete characterisation of all solutions.

3.  A hedge fund has two trading desks (A and B) which have diferent traders with diferent trading strategies. The hedge fund has up to $10 million in total which it can allocate to the two desks for them to start investing.  However, it can only allocate at most $7 million to each desk to follow the diversiication information given to investors.

After 1 year, it is expected that desk A will make a 5% return (i.e. for every $1 in initial funding it will end with $1.05 for a proit of $0.05) and desk B will make a 10% return.

However,  for every  $1 million in initial funding,  desk  A requires  3 support staf  (for trade execution, risk management, IT, etc) and desk B requires 5 support staf.  There are only 40 support staf available.

(a)  Formulate an LP problem to determine how the fund should best allocate its initial funding to maximise the proit in the irst year.

(b)   Solve the hedge fund,s problem using the simplex method.

(c)  By considering the optimum of the dual problem, identify which constraint(s) would have the largest relative impact on the optimal proit if it could be relaxed (i.e. the corresponding resource value increased).

4.   (MATH2070 only) A bank can write loans to customers of 4 diferent types:

.  Residential home loans, with an interest rate of 4%

.  Investment home loans, with an interest rate of 6%

.  Personal loans, with an interest rate of 10%

The bank can lend up to $300 million, but it must satisfy the following rules:

.  Residential home loans must be at least 60% of all home loans issued (in $)

.  The average interest rate (weighted by loan amount) on all loans cannot exceed 7%

The bank wishes to maximise its interest income.

By formulating an appropriate linear program, ind the bank,s optimal allocation of capital (i.e. the money for lending) to each loan type.

Note:  these tgpes of constTaints aTe common in the Teal WoTld：foT e从ample to  ensuTe a diveTsifed poTtfolio of loans  to Teduce the bank,s Tisks in the event of a maTket cTash.

5.  (MATH2970 only)

(a)   For any real number 从 E R, deine its positive and negative parts as x+  = max(x, O) and

x-  = max(-从, O). show that

(i)  x+  > O and x-  > O

(ii)  x = x+ - x-

(iii)   | x |  = x+ + x-

(b)  An important problem in signal processing is to ind the most sparse solution to an under- determined linear system (i.e. the solution with the most entries zero).  A practical way to solve this problem is to solve