1.  Compute the matrix power A5  for the matrix

Show all the computational results for A2, A3 , A4 .

Solution:

2. Let A =  [a1     a2] be a m-by-2 matrix.  If X  =  [x21(x11)   x22(x12)], find an

explicit expression for the matrix product AX in terms of a1 , a2  and xij .

Solution: AX = [x11 a1 + x21 a2    x12 a1 + x22 a2].

3. Find all matrices A ∈ R2×2  such that the matrix equation AX  = 0 has an invertible matrix solution X ∈ R2×2 .

Solution:  Suppose X is an invertible solution of AX = 0.  Since X−1 exists, we have

A = A · I2 = A · (XX−1) = (AX) · X −1 = 0.

4.  For A ∈ Rnxn , if the equation Ax = bhas a solution for every b ∈ Rn , show that A is invertible.

Solution:  Let ei  denote the ith column vector of the identity matrix In.  Then Ax = ei  has a solution xi  for all i = 1, 2,...,n.  Let X = [x1     x2     ···   xn]. Then

AX = A [x1     x2     ···   xn] = [Ax1    Ax2     ···   Axn] = In.

So X is the inverse of A, i.e., A is invertible.

5.  Consider the following lower triangular system

Solve this system by column-oriented forward substitution. Solution: Let us do it with two loops.

(j = 1)  b1 = 12/4 = 3.

(i = 2)  b2  = 1 — 1 · 3 = —2,

(i = 3)  b3  = 10 — 3 · 3 = 1,

(i = 4)  b4 = — 10 — 0 · 3 = — 10.

(j = 2)  b2  = — 2/( — 2) = 1.

(i = 3)  b3  = 1 — 2 · 1 = — 1,

(i = 4)  b4  = — 10 — 1 · 1 = — 11.

(j = 3)  b3  = — 1/1 = — 1.

(i = 4)  b4 = — 11 — 2 · ( — 1) = —9.

(j = 4)  b4  = —9/3 = —3.

So we get the solution x + 1 = 3, x2  = 1, x3  = — 1, x4  = —3.

6.  Decide the range for the value of t such that the following matrix is positive definite.

Solution: Observe that A is symmetric, if it is also positive definite, it must have a Cholesky decomposition. After 3 loops of row operations in the Algorithm of Cholesky factorization, the (4 , 4) entry becomes t 一 3. So A is positive definite if and only if t > 3.

7. For A e Rn 根n  and X e Rn 根m  , if A is positive definite and X has the rankm, show that the matrix product XTAX is also positive definite.

Solution:  Since A is positive definite, so xTAx  > 0 for all nonzero vector x e Rn. For an arbitrary y e Rm, y  0, we have Xy  0 since X is full column rank, so

yT (XTAX)y = (Xy)TA(Xy) > 0,    Ay  0.

It implies that XTAX is positive definite.

8. Let A =  [A21(A11)   A22(A12)] be a 2 根 2 block matrix, for submatrices A11  e

Rn1根n1 , A12  e Rn1根n2 , A21   e Rn2根n1 , A22   e Rn2根n2 .  If A is posi- tive definite, show that A11  is invertible and the matrix B  := A22  一

A21A11(-)1 A12  is also positive definite.

Proof: Since A is positive definite,

for all nonzero x e Rn1 .  So A11  is positive definite, thus it is invertible. For every nonzero y e Rn2 , we have

So B is positive definite.

9. Let A =  [0 A22(A11 A12)] be a 2 根 2 block matrix, for submatrices A11  e

Rn1根n1 ,  A12   e  Rn1根n2 ,  A22   e  Rn2根n2 .   The  0  is  a  zero  matrix  of dimension n2  根 n1 .  Suppose A11, A22  are invertible.  Show that A is invertible and A-1  is a 2 根 2 block matrix of the form

Express Xij  in terms of A11, A12 , A22 .

Solution: Let use solve AX = I.

Solving the equations

A11X11 = In1 ,    A11X12 + A12X22 = 0, A22X22 = In2 ,

we get that

X12 = -A11(-)1 A12A22(-)1 , A11XA22X(12+)22(A1)2X22] X22 = A22(-)1 .

10.  Consider the linear system Ax = b, with

Find a unit lower triangular matrix L and an upper triangular matrix U such that A = LU. Find vectors x,y such that Ly = b and Ux = y.

Solution: By elementary row operations, the matrix A is reduced to