1.    (i)  Give the deinitions of group and abeIian group.

prove that for any integer n > 2, the set z”(*)  of members of {1, 2, 3, . . . , n - 1}

which  are coprime with n forms  a group  under  the  operation of  multiplication modulo n.   (you  may assume without  proof that  if m and n are coprime, then there are integers x and g such that mx 十 ng = 1.)

(ii)  Find which of the following are subgroups of z3(*)0 , giving reasons:

(a) {1, 7, 11, 13},    (b) {1, 7, 13, 19},    (c) {1, 11}.

(iii)  prove that if x,g, and 从 are elements of a group G such that xg = xz , theng = z .

(iv)  Give  an example of a group G and elements x,g, and 从 of G such that xg = zx but g  x .

2.    (i) state  Lagrange,s  Theorem,  and from  it deduce that any group of prime order  is cyclic.

(ii)  Deine the direct product of two groups G and H.

(iii)  prove that any group of order 4  is isomorphic to z4  or z2  x z2 , but that these two groups are not isomorphic.

(iv)  List the right cosets of the subgroup {I, D} of the dihedral group D4  of order 8, whose group table is given.

3.    (i)  Deine permutation of a set X, and transposition, odd, and even.

prove that the family of all even permutations of a set X forms a normal subgroup of the group of all permutations of X .

(ii)  The following permutations f , g in the symmetric group 210 , are given in 2-row notation:

write each off and g as a product of disjoint cycles, and state with reasons which of f , g , f — 1 , g — 1 , fg , gf are conjugate.

(iii)  prove that  N = {id, (1 2 3), (1 3 2)} is a normal subgroup of 23 , and that H = {id, (1 3)} is a subgroup of 23  which is not normal.

Give a speciic homomorphism from 23  to R* , the group of non-zero real numbers under multiplication, of which N is the kernel.  (you do not need to prove that the mapping you deine is a homomorphism.) 

4.     (i)  Deine IinearIY  independent, and spanning subsets of a vector space Ⅴ  over a ield F. Deine the dimension of Ⅴ .

(ii)  Find a basis of each of the following vector spaces.  You do not need to prove that the set you ind is a basis.

(a) The set of solutions of the equations 

(b) The vector space over c of polynomials p(z) of degree at most 4 with coei- cients in c satisfying p(z) = p(-z) for all z e c andp(-2) = 0.

(iii)  Deine the sum U + w of two subspaces U and w of a vector space Ⅴ , and state the circumstances under which this is a direct sum (written U 企 w).  prove that if Ⅴ = U 企 w and Ⅴ is inite-dimensional, then dim(Ⅴ ) = dim U + dimw.

5.     (i)  Find  the  matrix  A of  the  linear transformation  θ  from c2   to  itself  given  by

 with respect to the basis 

Find the transition  matrix  P  to the  basis  {u1 , u2 } where   and hence determine the matrix of θ with respect to {u1 , u2 }.

(ii)  Determine  the  eigenvectors  and  eigenvalues  of  the  real  symmetric  matrix  A  =

 and ind an orthogonal matrix P such that P-1 AP is diagonal.

(iii)  By applying the Gram一schmidt orthogonalization process to the vectors

 ind an orthonormal basis of the space