1. Numbers.

we will use the following notation:

The set of natural numbers, denoted by N, consists of all the whole numbers {0）1）2）.....}.

The set of integers, denoted by z, consists of all the whole numbers {...）-3）-2）-1）0）1）2）3）.....}. The set of rational numbers, denoted by Q, consists of all numbers of the form  where p）q

are integers and q  0.

The ancient Greeks initially thought that this was all there was (they didn,t believe in negative numbers and zero either), until they discovered that ^2 could not be written as a rational number.

Theorem： ^2 is irrational.

proof：

^2 and numbers such as π and e are examples of irrational numbers. we think of the set of all real numbers are points which lie on the real line. Giving a formal deinition of real numbers is di伍cult.

we will use the following set notation:

{①  e A  : P (①)} denotes the set of all elements ①  of A  satisfying property P. For exam- ple）{① e R : -1 三 ① 三 1} denotes all the real numbers between -1 and 1 (inclusive).

A U B  is the intersection of A  and B and denotes all the elements that are in both A and B .

A a B is the union of A  and B  and denotes all the elements that are in either A  or B (or both).

Q is the set which has no elements）for example {① e R : ①2  < -1} = Q.

Inequalities：

You are aware of the following facts about inequalities:

For ①,g, z e R we have

i. if ① 持 g  then ① + z  持 g + z

ii. if ① 持 g and z 持 0 then ①z 持 gz and if z < 0 we have ①z < gz.

Note carefully the deinition for | ① | .

| ① | = {   ① ①

① > 0

① < 0

So for example） |a - 3| is equal to a - 3 if a > 3 and -(a - 3) = 3 - a if a < 3.

Note then that | ① | < 3 means -3 < ① < 3 and that |-① | = | ① | . Also note that {① : | ① -3| < 2} represents the set of all real numbers whose distance from 3 is less that 2.

Finally note that |①g| = | ① ||g| and that | ① + g|  三 | ① | + |g| . This last result is called

the triangle inequality. You will see a complex version of this in the algebra strand of the course.

Also of importance is:

Theorem: (AM-GM inequality).

If ①) g 三 0 are real numbers then

① + g 2

(This says that the arithmetic mean of two mean.)

proof:

三^①g.

positive

real numbers exceeds their

geometric

Ex: prove that for ① 持 0, we have ① +

三 2.

Ex: suppose a,b,c are positive real numbers. prove that a2  + b2  + c2   > ab + ac + bc.

Intervals: we will use the following notation when dealing with intervals. A round bracket means we do not include the endpoint while we do when a square bracket is used.  For example (3, 9] means the interval 3 < ① 三 9. Note that since ininity is NOT a real number, if we wish to represent the interval from 3 onwards we write this as [3, 钝) (never use a square bracket with ininity.). Here are some further examples:

{① e R : ① 持 3} u {① e R : ① < 5} = (3, 5)

{① e R : ① 持 3} n {① e R : ① < 5} = R

{① e R : ① 持 5} n {① e R : ① < 3} = (-钝, 3) n (5, 钝)

{① e R : ① 持 5} u {① e R : ① < 3} = Q

solving Inequalities:

These are very similar to equations except that we must careful when multiplying by an

unknown. You should be familiar with solving quadratic inequations such as Ex: Find {① : ①2  - 2① - 3 持 。}.

For more di伍cult inequalities we use the following idea.

Ex: solve x 持 1 +  .

Ex: solve  参  .

Functions:

You should be familiar with the function concept from school. Roughly speaking, a function f  : A  一 B  is a rule or formula which associates to each element of a set A (called the domain) exactly one element from another set B  (called the co-domain). For the most part, we will have A = B = R. The range of the function is the set of values b in B for which there is an a E A with f (a) = b. In less formal terms, the range consists of the output of the function.You will need to be able to ind the domain and range of basic functions.

Ex: Find the domain and range of f (从) =^1 - 从2 .

Ex: use the AM-GM inequality to ind the range of g = π2  +  and sketch the graph.

Ex: Find the domain of f (π) =^cos π .

It is often di伍cult to ind the range of a function. For example, what is the range of   

It is important to be able to draw the graph of a given function. In most calculus problems this is crucial.

It often helps if the function is even or odd. You will recall that f is even if f (π) = f (-π) and f is odd if f (-π) = -f (π). Even functions are symmetric about the g axis and odd functions have a central symmetry with respect to the origin.

Thus, if we can draw such a function on the positive half plane we get the rest of the picture for free.

Note that if f is odd and has 0 in its domain, then f (0) = 0.

we say that f  is periodic of period T  if f (x + T) = f (x) for all real x  in the domain of f.

You have met the trig. functions which are periodic with period 2π .

Ex: sketch: f (x) = (x - 3)2  + 4, and f (x) =  .

Ex: sketch: f (x) = x if 0 三 x < 1 and f (x + 1) = f (x) for all x .

Ex: sketch f (x) = x2  for 0 < x < 1, f is periodic of period 2 and f is even.

Floor and ceiling Functions:

Ex: sketch f (x) = x -「x].

combining Functions:

If f and g are two functions, we can add, subtract and multiply them in the obvious way. we can also divide them provided g is not zero. If the range of g equals the domain of f we compose the two functions to form f 。g which we deine to be

f 。g(x) = f (g(x)).

f 。g is called the composite function of f and g.

Ex: Find f 。g and g 。f iff (x) = x3  and g(x) =^x2  + 1.

Note that some functions cannot be deined by one simple equation. Many functions which occur in the real world are deined piecewise.

!

Ex: f (x) =〈 (

cos x

1

2

sin x

if x < 0

if x = 0

if x 持 0

conic sections:

An important class of implicitly deined functions arises from the conic  sections  (so called because they are obtained by slicing a cone with various planes.)

You will need to recognise these:

(i) circle x2  + g2  = T2

(ii) Ellipse a(x)2(2)  + b2(g2)   = 1, a, b  0.

(iii) Hyperbola a(x)2(2)  - b2(g2)   = 1, a, b  0.

(iv) Rectangular Hyperbola g = , a  0.